"
>

Højde og grundlinje

I trekantsberegningen for både retvinklede men især vilkårlige trekanter opererer man også med de to geometriske størrelser, højden og grundlinjen. Højden er den primære så lad os se på den først.

Højden h i en trekant

Højden h er en vinkelret linje på trekantens sider, som rammer den modstående vinkel. Højden skal ofte benyttes for at udregne arealet af en vilkårlig trekant, men kan også være brugbar i andre tilfælde. Herunder et eksempel på en trekants højde for side b.

A B C højde h b c a
Vilkårlig trekant med eksempel på højden h fra b (man kan også tegne højde til a og c).

Højden h kan både være en vinkelret linje på grundlinjen inde i trekanten, det er altid tilfældet i en spidsvinklet trekant. Men højden kan også være en vinkelret linje udenfor selve trekanten. Det er tilfældet for to af højderne i en stumpvinklet trekant. Her forlænges den linje, man skal finde højden fra, så man kan indtegne en vinkelret linje op til vinklen. Den højde, der rammer netop den stumpe vinkel ligger altid inde i trekanten. Som vist på figuren er højden til b, en højde udenfor trekanten.

A B C højde (b) b c a
En stumpvinklet trekant hvor højden til b er uden for trekanten.

I en retvinklet trekant er højden den samme som sidens længde for de to hosliggende kateter til den rette vinkel. Højden h tegnes oftest som en tynd linje eller en stiplet linje, hvor et lille kvadrat i hjørnet viser, at den er vinkelret på den linje, den optegnes fra.

Beregning af højde i trekant

Beregning af højden h i vilkårlige trekanter afhænger af, hvilke oplysninger man har. Inden man begynder at beregne en højde, kan det være en god ide at kende alle vinkler og sider.

Derefter laves en tegning på papir for bedre at kunne overskue trekanten. Det behøver ikke være \(100 \%\) præcis, da højden skal beregnes efterfølgende.

I eksemplet herunder indtegnes højden for side b (\(h_b\)), og der dannes derved en ny retvinklet trekant (ABD):

a A B C b h D 46° 90° c,d = 4,3
Når højden indtegnes dannes en ny retvinklet trekant ABD, hvor den modstående side til vinkel D for nemheds skyld kaldes side d (samme som c).  

I den nye trekant ABD kender man to vinkler og en side. Højden kan derefter beregnes ved hjælp af sinusrelationerne, da man kender et par (d og D) og yderligere en vinkel (A).

I trekant ABD er \(\angle D = 90°, d = 4,3\) cm og \(\angle A = 46°\). \(h_b\) er den modstående side til \(\angle A\) i trekant ABD og \(h_b\) kan nu bestemmes med en sinusrelation:

  \(\frac{h_b}{\sin(A)} = \frac{d}{\sin(D)}\)
\(\Downarrow\)
  \(\frac{h_b}{\sin(46)} = \frac{4,3}{\sin(90)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(h_b = \frac{4,3\cdot\sin(46)}{\sin(90)}\)         (\(\sin(90) = 1\))
\(\Updownarrow\)
  \(h_b = 3,09\)

Dermed er højden h_b = 3,09 cm

Grundlinjen i en trekant

Grundlinjen i en trekant kan være en hvilket som helst af trekantens kateter/sider. Dette gælder både for retvinklede og vilkårlige trekanter.

Grundlinjen benyttes fortrinsvis i forbindelse med beregning af arealet af en trekant. I den forbindelse udgøres grundlinjen af den katete, fra hvilken man har en højde vinkelret til den modsatte vinkel. Grundlinjen vil blive behandlet yderligere i artiklen om areal af trekant