"
>

Hypotenusen

Hypotenusen er den længste linje i en retvinklet trekant.


Retvinklet trekant med hypotenusen og kateterne markeret.

En retvinklet trekant består af tre sider, hvoraf to af dem ligger vinkelret på hinanden, den tredje er hypotenusen. De to vinkelrette sider kaldes kateterne.

Hypotenusen ligger altid over for den rette vinkel i trekanten.

Længden af hypotenusen kan beregnes ud fra de to kateter med Pythagoras sætning.

Pythagoras' sætning siger:

a^2 + b^2 = c^2

c er hypotenusen, og a og b er de to kateter.

Pythagoras sætning giver os forholdet mellem de tre sider i en trekant og er sand for alle retvinklede trekanter.

Men brugt direkte kan den kun give os c2 altså hypotenusen i anden potens.

For at fjerne den anden potens skal vi tage kvadratroden:

\sqrt{c^2} = c

Hvis vi tager kvadratroden på begge sider af lighedstegnet i Pythagoras sætning, kan vi få c ud.

Vi kan altså bruge Pythagoras' lov til at lave en formel for hypotenusen:

\text{Hypotenuse} = \sqrt{\text{Katete}_a^2 + \text{Katete}_b^2}

Altså hypotenusens længde er lig kvadratroden af den ene katete (a) i anden potens plus den anden katete (b) i anden potens.

Når man vil finde længden af hypotenusen, men ikke har længden af begge kateter, kan man finde den, hvis man kender enten en af kateternes længde og den hosliggende vinkel.

\text{Hypotenuse} = \frac{\text{Katete}}{\cos(v)}

Her er v altså vinklen mellem hypotenusen og kateten.

Eller hvis man kender en af kateternes længde og den modstående vinkel, så ser formlen lidt anderledes ud:

\text{Hypotenuse} = \frac{\text{Katete}}{\sin(v)}

Cosinus bliver ændret til sinus.

Altså hvis vinklen ligger mellem den kendte katetelængde og hypotenusen, bruger man cosinus. Hvis vinklen er den modstående til katetelængden, bruger man sinus.

Eksempel 1

Vi vil i dette eksempel udregne længden af hypotenusen i en retvinklet trekant.


Eksempel trekant med kateter på 8 cm og 12 cm.

Vi sætter længderne af de to kateter ind i hypotenuseformlen:

\text{Hypotenuse} = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = 14,42

Hypotenusen på denne trekant er altså 14,42 cm.

Eksempel 2

Vi vil i dette eksempel se på en retvinklet trekant, hvor vi kender en af vinklerne men ikke begge kateter.


Trekant hvor vi kun kender kateten og vinklen i mellem kateten og hypotenusen.

Vi kan altså bruge vores formel for hypotenusen ud fra kateten og vinklen. Vinklen ligger imellem hypotenusen og kateten, så vi skal bruge cosinus. Kateten er 10 cm, og vinklen er 63 grader:

\text{Hypotenuse} = \frac{10}{\cos(63)} = 22,03

Så længden af hypotenusen i denne trekant er 22,03 cm.