"
>

Omskrevne og indskrevne cirkel

Indenfor trigonometrien kan man tegne både den omskrevne og den indskrevne cirkel, gældende for alle trekanter. Lad os se på dem hver for sig.

Den omskrevne cirkel

Den omskrevne cirkel er, som navnet antyder, en cirkel der kan tegnes omkring alle trekanter. Det gælder både en retvinklet trekant og de vilkårlige trekanter. Den omskrevne cirkel er defineret ved at tangere (berøre) alle trekantens tre vinkelspidser. Trekantens omskrevne cirkel findes ved at tegne de tre midtnormaler for trekantens tre sidestykker (se artiklen midtnormal). De tre midtnormaler mødes i et skæringspunkt som er centrum for den omskrevne cirkel.

Herunder ses et eksempel på den omskrevne cirkel for trekant ABC:

A B C a c b
Den omskrevne cirkel, tegnet på baggrund af skæringen for de tre linjestykkers midtnormaler.

For den omskrevne cirkel er radius \(r_o\) bestemt ved:

\(r_o = \frac{abc}{4T}\)

\(a, b\) og \(c\) er sidelængderne i trekanten

\(T\) er trekantens areal, se Herons formel og areal af trekant

Det gælder bemærkelsesværdigt nok, at i retvinklede trekanter er midtnormalernes skæringspunkt, og dermed centrum for den omskrevne cirkel, samtidig et punkt præcis midt på hypotenusen. I retvinklede trekanter er radius for den omskrevne cirkel derfor:

\(r_o = ½c\)

Eksempelvis en retvinklet trekant med kateterne \(a = 3, b = 4\) og hypotenusen \(c = 5\)

\(r = ½ \cdot 5 \Leftrightarrow r = 2,5\)

Den indskrevne cirkel

Den indskrevne cirkel er, som navnet antyder, en cirkel der kan tegnes inde i alle trekanter, og som berører (tangerer) alle tre sider. Den indskrevne cirkel finder man ved at kigge på vinklerne, nærmere bestemt vinkelhalveringslinjen for hver vinkel (se artiklen vinkelhalveringslinje). Når man tegner alle tre vinkelhalveringslinjer mødes de i et skæringspunkt, som er centrum for den indskrevne cirkel.

Nedenfor ses et eksempel på hvordan den indskrevne cirkel kan se ud:

A B C a c b
Den indskrevne cirkel, tegnet på baggrund af skæringen for de tre vinkelhalveringslinjer.

For den indskrevne cirkel er radius \(r_i\) bestemt ved:

\(r = \frac{T}{s}\)

\(T\) er trekantens areal

\(s\) er den halve omkreds \(\frac{a + b + c}{2}\), se Herons formel.