"
>

Enhedscirklen

Enhedscirklen er et vigtigt begreb at forstå, for at kunne lave trigonometriske beregninger. Enhedscirklen er udgangspunktet for at definere de trigonometriske funktioner, sinus, cosinus og tangens. Forstår man enhedscirklen er det nemmere at forstå beregninger med sinus, cosinus og tangens.

Det kaldes en enhedscirkel, fordi dens radius er \(1\).

I et koordinatsystem tegnes enhedscirklen med centrum i nulpunktet \((0,0)\), også kaldet origo.

Enhedscirklen er derfor en helt speciel cirkel, da alle punkter på cirklen har en afstand på \(1\) til origo. I en cirkel er vinkelsummen \(360°\).

Når man indtegner punkter på enhedscirklen, også kaldet retningspunkter, dannes en vinkel (mod uret) mellem x-aksen og den linje der tegnes ud til retningspunktet fra nulpunktet. Denne vinkel kaldes retningsvinklen (v).

En anden måde at sige det samme på er, at den linje man kan tegne mellem et vilkårligt punkt og origo danner en vinkel med x-aksen, som har koordinatet \(x, y\). Det specielle er at dette punkt på enhedscirklen kan defineres som \((cos  v, sin  v)\).

Grafisk tegnes den således:

x y 1 cos (v) sin (v) v tan (v) y x
Enhedscirkel med radius 1 og vinklen v aftegnet. Samtidig er sinus, cosinus og tangens til vinklen v markeret.

Når (\(x,y\)) er koordinatet til retningspunktet gælder det at:

\(cos(v) = x\)

Når man indtegner et vilkårligt retningspunkt på enhedscirklen er cosinus til vinkel v svarende til x-koordinatet for retningspunktet. Samtidig gælder det at:

\(sin(v) = y\)

Indtegnes et vilkårligt retningspunkt på enhedscirklen er sinus til vinkel v svarende til y-koordinatet for retningspunktet.

Et retningspunkt på enhedscirklen har derfor koordinaterne \(cos v, sin v\).

Tangens defineres som:

\(tan(v) = sin(v) /cos(v)\)

Ud fra enhedscirklen findes tangens ved at tegne en ret linje gennem punktet \((1,0)\) også kaldet en lodret tangent. Samtidig forlænges retningslinjen gennem retningspunktet, og der hvor retningslinjen skærer den lodrette tangent, findes punktet \((1, tan v)\).

Areal og omkreds af Enhedscirkel

Samtidig kan man nemt bestemme areal og omkreds af enhedscirklen, når radius er lig med \(1\).

Når vi kender formlerne for en cirkels areal, defineret som: \(\pi \cdot r^2\), og en cirkels omkreds defineret som:  \(2 \cdot \pi \cdot r\)

Enhedscirklens areal: \(\pi\)

Enhedscirklens omkreds: \(2 \cdot \pi\)

Idiotformlen

Når man lader radius på \(1\) være hypotenusen i en retvinklet trekant med linjen y og x-aksen får man ved hjælp af Pythagoras læresætning:

\(x^2 + y^2 = 1\)

Med basis i en enhedscirkel gælder grundrelationen, også kaldet idiotformlen:

\(cos^2(v) + sin^2 (v) = 1\)

Læs mere om sinus, cosinus og tangens i de følgende artikler for at forstå enhedscirklens betydning til fulde.