Cosinus

Cosinus kan umiddelbart være lidt svær at forstå, for hvad er cosinus? Man skal tænke på cosinus som en trigonometrisk funktion. En trigonometrisk funktion behøver man ikke nødvendigvis at forstå, da den er meget kompleks. Men man skal lære at benytte den.

Cosinus forkortes ’cos’ i matematiske formler. Skal man finde cosinus til eksempelvis en vinkel v, skrives det cos (v) eller cos v. 

Cosinus har primært to anvendelsesmuligheder, de gennem

Cosinus i retvinklet trekant

For det første kan cosinus beskrive forholdet mellem siderne og vinklerne i en retvinklet trekant. Således kan cosinus beregne vinkler mellem \(0°\) og \(90°\). Man kan udregne de to andre vinkler (man kender i forvejen en vinkel på \(90°\)) ved hjælp af cosinus, hvis man kender længden på to sider.

Cosinus til en vinkel er længden på den hosliggende katete divideret med længden på hypotenusen (husk: kender man to sidelængder, som ikke er hypotenusen og den hosliggende katete til den vinkel man skal beregne, kan den sidste sidelængde nemt beregnes ved hjælp af Pythagoras).

\(\cos v = \frac{ \text{hosliggende katete}}{\text{hypotenusen}}\)

Hypotenusen er den side c der ligger overfor den rette vinkel C. Den hosliggende katete er den katete der ligger hos den vinkel, der skal beregnes. Det vil sige, skal man beregne \(\angle B\), er siden a den hosliggende katete. Skal \(\angle A\) beregnes, er siden b den hosliggende katete. 

A B C b (katete) a (katete) c (hypotenusen)
En retvinklet trekant hvor c er hypotenusen og a og b er kateter.

Det gælder derfor at:

\(\cos A = \frac{b}{c}\)

\(\cos B = \frac{a}{c}\)

Cosinus i enhedscirklen

For det andet kan cosinus beskrive talværdien for x-koordinaten til alle punkter på enhedscirklen. Enhedscirklen har centrum i origo \((0,0)\) og en radius på \(1\). I en cirkel er vinkelsummen \(360°\), og der kan derfor tegnes andre vinkler end i den retvinklede trekant. Cosinus kan også benyttes til at beregne vinkler større end 90°. Den positive side af x-aksen er nulpunkt, når der måles vinkler. Går man ’mod uret’ er vinklen positiv, mens vinklen derimod er negativ, når man går ’med uret’.

Der gælder følgende om vinkler i enhedscirklen:

\(\cos v =  \cos (v - 360°)\)

Eksempelvis som på figuren herunder:

  \(\cos 120° = -0,5\)

  \(\cos 120° = \cos (120° - 360°)\)
\(\Updownarrow\)
  \(\cos 120° = \cos (- 240°)\)

  ​\(\cos (-240°) = -0,5\)

Vinklen på \(- 240°\) fremkommer hvis man starter på x-aksen og tegner 'med uret'.

y x -0,5 v = 120° v = -240°
cos v = cos(v - 360°)

Det gælder samtidig at \(\cos v = \cos (-v)\). Med andre ord har det ikke betydning for cosinus til en vinkel v, om den er beregnet mod uret eller med uret, det giver det samme x-koordinat (for sinus har det derimod betydning). Hvis vinklen v er \(60°\) gælder det at:

\(\cos (60) = 0,5\)

\(\cos (-60) = 0,5\)

y x -0,5 v = 60° v -v
cos v = cos -v

Da x-koordinaten i enhedscirklen altid er mellem \(-1\) og \(1\) er værdimængden for cosinus også alle reelle tal fra og med \(-1\) til og med \(1\).

Når man regner med cosinus matematisk, kan man ofte have brug for at flytte cosinus over på den anden side af lighedstegnet. Dette beskrives som den omvendte funktion af cosinus, cos i minus første (\(\cos^{-1}\)) eller Arc cos (acos).

Her gælder følgende regneregel:

\(\cos v = d ⇔ v = \cos^{-1}(d)\)

Cosinusfunktionen har mange fællestræk med sinusfunktionen. Sammen danner cosinus og sinus grundlag for tangens. Læs mere på de følgende sider.