"
>

Sinus

Sinus forkortes ’sin’ i matematiske formler, og når man skal beregne sinus til eksempelvis vinkel v skrives det sin (v) eller sin v.

Hvad er sinus?

Sinus kan umiddelbart være lidt svær at forstå. Man skal tænke på sinus som en trigonometrisk funktion. Da sinus er en funktion, der er meget anvendelig, er det afgørende, at man kan lære at benytte den, ikke at man nødvendigvis forstår sinus i al sin kompleksitet. Men hvad betyder sinus så i praksis?

Sinus har primært to anvendelsesmuligheder, nemlig sinus i en trekant og sinus i enhedscirklen. De behandles hver for sig herunder.

Sinus i retvinklet trekant

Sinus kan, ligesom cosinus, beskrive forholdet mellem siderne og vinklerne i en retvinklet trekant, og således kan sinus udregne vinkler mellem \(0\) og \(90°\). Man kender i forvejen en vinkel på \(90°\) og ved hjælp af sinus kan man udregne de to andre vinkler, når man kender længden på to sider. Sinus til en vinkel er længden på den modstående katete divideret med længden på hypotenusen (når man kender to sider i en retvinklet trekant, kan den sidste side beregnes ved hjælp af Pythagoras, så derfor er to sider altid nok).

\(\sin v = \frac{modstående \; katete}{hypotenusen}\)

Hypotenusen er den side c der ligger overfor den rette vinkel C. Den modstående katete er den katete der ligger modsat den vinkel der skal beregnes. Skal \(\angle A\) beregnes er a den modstående katete. Skal \(\angle B\) beregnes er den modstående katete side b.

A B C b (katete) a (katete) c (hypotenusen)
En retvinklet trekant hvor c er hypotenusen, og a og b er kateter.

Det gælder derfor at:

\(\sin A = \frac{a}{c}\)

\(\sin B = \frac{b}{c}\)

Sinus i enhedscirklen

Det andet vigtige kendetegn er, at sinus beskriver talværdien for x-koordinaten til alle punkter på enhedscirklen. Enhedscirklen har en radius på \(1\) og centrum i origo \((0,0)\).

Vinkelsummen i en cirkel er \(360°\) og enhedscirklens vinkler overstiger derfor størrelsen på vinkler i retvinklede trekanter. Men sinus kan også benyttes til at beregne vinkler større end \(90°\). Når der måles vinkler er den positive side af x-aksen nulpunkt. Når man går ’mod uret’ er vinklen positiv, hvorimod går man ’med uret’, er vinklen negativ.

Der gælder følgende om vinkler i enhedscirklen:

\(\sin v =  \sin (v - 360°)\)

Eksempelvis som på figuren herunder:

 \(\sin 150° = 0,5\)

  \(\sin 150° = \sin (150° - 360°)\)
\(\Updownarrow\)
  \(\sin 150° = \sin (- 210°)\)

 ​\(\sin (-210°) = 0,5\)

Vinklen på \(- 210°\) fremkommer hvis man starter på x-aksen og tegner 'med uret'.

0,5 v = 150° y x v = -210°
sin v = sin (v - 360°)

Endvidere gælder det at \(\sin v = - sin (-v)\). Med andre ord har det stor betydning for y-koordinatet, om vinklen er positiv eller negativ og om retningspunktet ligger over eller under x-aksen. Hvis vinklen v er \(30°\) gælder det at:

\(\sin (30) = 0,5\)

\(\sin (-30) = - 0.5\)

\(-\sin (-30) = 0,5\)

0,5 y x -0,5 v -v
sin v = -sin -v

Samtidig kan det udledes, at da y-koordinaten i enhedscirklen altid er mellem \(-1\) og \(1\) er værdimængden for sinus også alle reelle tal fra og med \(-1\) til og med \(1\).

I matematiske beregninger med sinus, skal man ofte flytte sinus over på den anden side af lighedstegnet. Dette beskrives som den omvendte funktion af sinus, sin i minus første (\(sin^{-1}\)) eller Arc sin (asin).

Her gælder følgende regneregel:

\(\sin v = d ⇔ v = \sin^{-1}(d)\)

Sinusfunktionen har mange fællestræk med cosinusfunktionen og sammen danner sinus og cosinus grundlag for endnu en trigonometrisk funktion, tangens.