"
>

Tangens

Tangens er den tredje trigonometriske funktion, foruden de to mest grundlæggende funktioner sinus og cosinus. Hvis sinus og cosinus er vanskelige at forstå, er tangens lige en tand mere kompliceret.

På samme måde som med sinus og cosinus, er det ikke nødvendigvis afgørende, at man forstår tangens fuldstændigt, men at man kan benytte tangens i udregninger.

Tangens forkortes ’tan’ i matematiske formler, og når man skal beregne tangens til en vinkel v skrives det tan (v) eller tan v.

Tangens i retvinklede trekanter

Tangens til en vinkel defineres i en retvinklet trekant som den modstående katete divideret med den hosliggende katete.

\(\tan v = \frac{\text {modstående katete}}{\text {hosliggende katete}}\)

Tangens kan beskrive forholdet mellem siderne i en retvinklet trekant. Tangens er en fordel at benytte, når de to hosliggende sidelængder til den rette vinkel er opgivet. De to sider er nemlig modstående og hosliggende til de to vinkler, man kan have behov for at beregne i en retvinklet trekant. Man har med tangens ikke brug for at kende længden på hypotenusen, men man kan altid udregne denne ved hjælp af Pythagoras.

Skal tangens til \(\angle B\) beregnes, er b den modstående katete, og a den hosliggende katete. Når tangens til \(\angle A\) skal beregnes, er a den modstående katete, og b den hosliggende katete. Man bruger slet ikke hypotenusen c, som det er tilfældet i med beregninger med sinus og cosinus. Derfor er det meget afgørende, at man i beregning med tangens har styr på, hvad der er den hosliggende og den modstående katete, og dermed hvilken vinkel man beregner.

A B C b (katete) a (katete) c (hypotenusen)
Når man skal beregne tangens til en vinkel er det den modstående og hosliggende katete man skal benytte..

Tangens i enhedscirklen

Derudover har tangens en anden meget vigtig karakteristika. Tangens binder nemlig de tre trigonometriske funktioner; sin, cos og tan sammen. Tangens er lig med sinus til en pågældende vinkel divideret med cosinus til den samme vinkel. Tangens er defineret ud fra følgende formel:

\(\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}\)

(cos v ≠ 0)

Det kan hjælpe i forståelsen, at tangens betyder en tangent, der går gennem punktet \((1,0)\). Ved hjælp af enhedscirklen kan det grafisk afbildes hvad tangens betyder. Tangens til vinklen v er længden på den vinkelrette tangent med start i punktet \((1,0)\), der fremkommer når retningsvinklen forlænges ud over retningspunktet på enhedscirklen.

På figuren er \(\angle v\) indtegnet som vinklen mellem x-aksen og retningsvinklen. Sinus til vinkel v er markeret med gult, cosinus til vinkel v med rødt og endelig tangens til vinkel v med blåt.

x y x x v cos v sin v 1 tan v
Sammenhængen mellem sinus, cosinus og tangens i enhedscirklen.

I matematiske beregninger med tangens, kan man tit  komme ud for at tangens skal flyttes over på den anden side af lighedstegnet for at løse en ligning. Dette beskrives som den omvendte funktion af tangens, tan i minus første (\(\tan^{-1}\)) eller Arc tan (atan).

Her gælder følgende regneregel:

\(\tan v = d ⇔ v = tan^{-1}(d)\)