Pythagoras

Pythagoras læresætning beskriver sammenhængen mellem siderne i en retvinklet trekant.

Pythagoras var en græsk filosof og matematiker, og han har lagt navn til et af de mest kendte matematiske udtryk indenfor trigonometri. Den korrekte betegnelse for sammenhængen er Pythagoras læresætning, men man ser også alternativer som blot Pythagoras, Pythagoras sætning eller Pythagoras formel. I denne artikel bruges de derfor også som synonymer.

I emnet trigonometri er formler og en retvinklet trekant først og fremmest karakteriseret ved Pythagoras, som en af de helt grundlæggende hjørnesten i underemnet trigonometri.

Pythagoras sætning

Pythagoras sætning ser således ud:

\(a^2 + b^2 = c^2\)

Pythagoras formel beskriver en sammenhæng mellem de tre sider i en retvinklet trekant. Pythagoras formel beskriver, at i retvinklede trekanter er summen af kateternes kvadrater lig med kvadratet på hypotenusen. Kateterne er de to sider der er hosliggende til den rette vinkel. Hypotenusen er altid den side der ligger overfor den rette vinkel på \(90°\). I Pythagoras oprindelige udgave af en retvinklet trekant er det side c.

Det betyder at hvis man kender længden på to sider i en retvinklet trekant, kan man altid udregne længden på den tredje ukendte side. Dette gælder specifikt for retvinklede trekanter hvor den ene vinkel altid er \(90°\), ikke for en vilkårlig trekant. De \(3\) forskellige sider beskrives som a, b og c.

c C A B a b 90°
Retvinklet trekant hvor siden c er hypotenusen.

Eksempel 1

I en retvinklet trekant hvor \(\angle C = 90°\) kender man sidelængderne \(a = 6\) cm og \(b = 8\) cm

Beregn længden på hypotenusen ved hjælp af Pythagoras sætning?

  \(a^2 + b^2 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(6^2 + 8^2 = c^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(36 + 64 = c^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(100 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(c = 10\)

I trekant ABC er hypotenusen \(c = 10\) cm.

Eksempel 2

I den retvinklede trekant DEF er \(\angle F = 90 °\) og sidelængderne \(d = 5\) cm og \(f = 13\) cm

Det betyder praktisk, at i dette tilfælde er sidestykket f hypotenuse i trekanten (da f ligger modsat den rette vinkel), og indsættes derfor som 'c' i Pythagoras læresætning. 

Beregn længden på side \(e\) ved at benytte Pythagoras sætning?

  \(a^2 + b^2 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(d^2 + e^2 = f^2\)
\(\Downarrow\)
  \(5^2 + e^2 = 13^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(25 + e^2 = 169\)
\(\Updownarrow\)
  \(e^2 = 169 - 25\)
\(\Updownarrow\)
  \(e^2 = 144\)
\(\Downarrow\)
  \(e = 12\)

I trekant DEF er sidestykket \(e = 12\) cm.

Pythagoras sætning gælder KUN for retvinklede trekanter med én vinkel på \(90°\). Det samme er i øvrigt gældende for sinus, cosinus og tangens. Pythagoras læresætning kan IKKE benyttes, når der er tale om vilkårlige trekanter. Her skal man i stedet benytte cosinusrelationerne og sinusrelationerne.

Pythagoras omvendte sætning - a^2 + b^2 = c^2

Pythagoras omvendte sætning siger at hvis det gælder at a^2 + b^2 = c^2, da er trekanten retvinklet. I Pythagoras starter man jo med at antage det omvendte, nemlig at trekanten er retvinklet. Som navnet antyder, er det et bevis for at det modsatte også er gældende. Har man derfor at summen af to af kateterens kvadrater er lig med kvadratet på den tredje katete (hypotenusen), da er det en retvinklet trekant. Den rette vinkel vil altid være den vinkel modsat den katete (hypotenusen) hvor kvadratet er lig med summen af kvadratet på de to øvrige kateter.