Pythagoras

Pythagoras var en græsk filosof og matematiker. Pythagoras har lagt navn til en af de mest kendte matematiske udtryk indenfor trigonometri. Det beskriver sammenhængen mellem siderne i en retvinklet trekant.

Indenfor trigonometri er formler og en retvinklet trekant først og fremmest karakteriseret ved Pythagoras, som måske den mest basale bestanddel. 

Den korrekte betegnelse for sammenhængen er Pythagoras læresætning, men man ser også alternativer som blot Pythagoras, Pythagoras sætning, Phytagoras eller Pytagoras.

Pythagoras læresætning: \(a^2 + b^2 = c^2\)

Pythagoras beskriver en sammenhæng mellem de tre sider i en retvinklet trekant. Pythagoras beskriver, at i retvinklede trekanter er summen af kateterens kvadrater lig med kvadratet på hypotenusen. Kateterne er de to sider der er hosliggende til den rette vinkel. Hypotenusen er altid den side der ligger overfor den rette vinkel på \(90°\). I Pythagoras oprindelige udgave af en retvinklet trekant er det side c.

Det betyder at hvis man kender længden på to sider i en retvinklet trekant, kan man altid udregne længden på den tredje ukendte side. Dette gælder specifikt for retvinklede trekanter hvor den ene vinkel altid er \(90°\), ikke for en vilkårlig trekant. De \(3\) forskellige sider beskrives som a, b og c.

c C A B a b 90°
Retvinklet trekant hvor siden c er hypotenusen.

Eksempel 1

I en retvinklet trekant hvor \(\angle C = 90°\) kender man sidelængderne \(a = 6\) cm og \(b = 8\) cm

Beregn længden på hypotenusen ved hjælp af Pythagoras?

  \(a^2 + b^2 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(6^2 + 8^2 = c^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(36 + 64 = c^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(100 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(c = 10\)

I trekant ABC er hypotenusen \(c = 10\) cm.

Eksempel 2

I den retvinklede trekant DEF er \(\angle F = 90 °\) og sidelængderne \(d = 5\) cm og \(f = 13\) cm

Det betyder praktisk, at i dette tilfælde er sidestykket f hypotenuse i trekanten (da f ligger modsat den rette vinkel), og indsættes derfor som 'c' i Pythagoras læresætning. 

Beregn længden på side \(e\) ved at benytte Pythagoras?

  \(a^2 + b^2 = c^2\)
\(\Downarrow\)
  \(d^2 + e^2 = f^2\)
\(\Downarrow\)
  \(5^2 + e^2 = 13^2\)
\(\Updownarrow\)
  \(25 + e^2 = 169\)
\(\Updownarrow\)
  \(e^2 = 169 - 25\)
\(\Updownarrow\)
  \(e^2 = 144\)
\(\Downarrow\)
  \(e = 12\)

I trekant DEF er sidestykket \(e = 12\) cm.

Pythagoras sætning gælder KUN for retvinklede trekanter med én vinkel på \(90°\). Det samme er i øvrigt gældende for sinus, cosinus og tangens. Pythagoras kan IKKE benyttes, når der er tale om vilkårlige trekanter. Her skal man i stedet benytte cosinusrelationerne og sinusrelationerne.

Pythagoras omvendte sætning - a^2 + b^2 = c^2

Pythagoras omvendte sætning siger at hvis det gælder at a^2 + b^2 = c^2, da er trekanten retvinklet. I Pythagoras starter man jo med at antage det omvendte, nemlig at trekanten er retvinklet. Som navnet antyder, er det et bevis for at det modsatte også er gældende. Har man derfor at summen af to af kateterens kvadrater er lig med kvadratet på den tredje katete (hypotenusen), da er det en retvinklet trekant. Den rette vinkel vil altid være den vinkel modsat den katete (hypotenusen) hvor kvadratet er lig med summen af kvadratet på de to øvrige kateter.