"
>

Cosinusrelationerne

Cosinusrelationerne beskriver en sammenhæng mellem vinklerne og siderne (sidestykker) i alle trekanter. I modsætning til sinus, cosinus og tangens der kun kan benyttes i beregningen af en retvinklet trekant, gælder cosinusrelationerne alle trekanter.

Som udgangspunkt kan alle tre vinkler og tre sider beregnes. Men man skal kende minimum \(3\) oplysninger, for at kunne beregne de resterende vinkler og sider ved hjælp af cosinusrelationerne. Enten alle tre sider eller en vinkel og de to hosliggende sider. I trigonometriske beregninger med cosinus relationer er det afgørende at vinkler og sider er parret korrekt sammen. En vinkel er ALTID parret sammen med den modstående side. Således at modsat vinkel A findes side a osv.

A B C c a b
En vilkårlig trekant og de vinkler og modstående sider der parres sammen.

Varianter af cosinusrelationer 

Der findes 6 varianter af cosinus-relationer, en for hver ukendt vinkel eller side:

Cosinusrelation for \(\angle A:\)                     \(cos (A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)

Cosinusrelation for \(\angle B:\)                     \(cos (B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)

Cosinusrelation for \(\angle C:\)                     \(cos (C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\)

Cosinusrelation for sidestykke \(a:\)     \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A)\)

Cosinusrelation for sidestykke \(b:\)     \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)\)

Cosinusrelation for sidestykke \(c:\)     \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\)

Eksempel 1

I en trekant ABC kender man følgende mål:

\(\angle B\) er \(28°\), side \(a\) er \(8,2\) cm og side \(c\) er \(9,4\) cm.

Udregn længden på sidestykke b med to decimaler?

Cosinusrelation for sidestykke \(b:\)     

  \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B)\)
\(\Downarrow\)
  \(b^2 = 8,2^2 + 9,4^2 - 2 \cdot 8,2 \cdot 9,4 \cdot \cos(28)\)
\(\Updownarrow\)
  \(b^2 = 19,48479908\)
\(\Updownarrow\)
  \(b = 4,414158933\)

Sidelængden på linjestykket \(b\) er \(4,41\) cm.

Eksempel 2

I trekant DEF kender man disse oplysninger:

Side \(a\) er \(49\) cm, side \(b\) er \(74\) cm og side \(c\) er \(60\) cm.

Udregn vinklerne A og B ved hjælp af cosinusrelationerne og find derefter vinkel C ved hjælp af en trekants vinkelsum (med to decimaler)?

Cosinusrelation for \(\angle A:\)                    

  \(cos (A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)
\(\Downarrow\)
  \(cos (A) = \frac{74^2 + 60^2 - 49^2}{2 \cdot 74 \cdot 60}\)

\(\Updownarrow\)
  \(cos (A) = 0,751689189\)
\(\Updownarrow\)

  \(A = \cos^{-1}(0,751689189)\)
\(\Updownarrow\)
  \(A = 41,26\)

Dermed er \(\angle A = 41,26°\)

Cosinusrelation for \(\angle B:\)

  \(cos (B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\)
\(\Downarrow\)
  \(cos (B) = \frac{49^2 + 60^2 - 74^2}{2 \cdot 49 \cdot 60}\)
\(\Updownarrow\)
  \(cos (B) = 0,089285714\)
\(\Updownarrow\)
  \(B = \cos^{-1}(0,089285714)\)
\(\Updownarrow\)
  \(B = 84,88\)

Dermed er \(\angle B = 84,88°\)

Vinkel C kan herefter beregnes ved hjælp af en trekants vinkelsum:

\(\angle C = 180° - 41,26° - 84,88° ⇔ \angle C = 53,86°\)

Afhængig af hvilke oplysninger man har, skal man vælge cosinusrelationerne der passer i netop den trekantsberegning. I de tilfælde hvor man ikke har tilstrækkelige oplysninger til at benytte cosinusrelationerne, kan man i stedet (oftest) benytte sinusrelationerne. Samtidig skal man være opmærksom på at vinkelsummen er \(180°\). Kender man to vinkler, er den tredje vinkel givet ved simpel udregning.

Derudover kan man komme ud for et tilfælde hvor man kun kender de tre vinkler. I det tilfælde kan hverken cosinusrelationerne eller sinusrelationerne benyttes og sidelængderne kan derfor ikke bestemmes. For alle trigonometriske beregninger gælder det at man skal kende mindst én side.

Se artiklen trekantsberegning for en udførlig oversigt over hvilke udregninger man skal foretage, afhængig af hvilke sider og vinkler man kender, og i hvilke tilfælde man kan anvende cosinusrelationerne.