"
>

Sinusrelationerne

Sinusrelationerne beskriver en sammenhæng mellem vinkler og sider i alle trekanter. Det gælder både en vilkårlig trekant samt en retvinklet trekant. I modsætning til sinus, cosinus og tangens, der kun gælder retvinklede trekanter, kan sinusrelationerne benyttes i beregninger med alle trekanter, ligesom cosinusrelationerne.

Det skal påpeges, at det er afgørende, at vinklerne parres med den modstående side. Således at den side der, på figuren nedenfor, er modsat vinkel B ALTID ligeledes er side b. De tre par af en vinkel og den tilhørende modstående side, er særligt afgørende for sinusrelationerne.

A B C c a b
En vilkårlig trekant og de vinkler og tilhørende sider der skal parres sammen.

Når man laver beregninger med sinusrelationer, skal man kende \(3\) oplysninger for at kunne beregne de \(3\) øvrige ubekendte vinkler og sider. For sinusrelationerne er det afgørende at kende et helt par. Altså både vinklen og den modstående side, samt have endnu en oplysning. Det skal forklares lidt mere detaljeret.

Lad os starte med at se på formlen for sinusrelationerne:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\) 

Følgende omskrivning gælder ligeledes, den såkaldte omvendte sinusrelation:

\(\frac{\sin(A)}{a} = \frac{\sin(B)}{b} = \frac{\sin(C)}{c}\)

Sinusrelationerne - varianter til udregning

Formlen for sinusrelationerne kan godt se lidt forvirrende ud med to lighedstegn. Det vigtige at forstå er, at alle disse tre par af en vinkel og den tilhørende side er ens. Det betyder, at man kan isolere, og kun benytte to af de tre led. Da de alle sammen er lig med hinanden, kan man udelade et led. Det led man udelader, er jo alligevel lig med de to andre. Eksempelvis:

\(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}\)        og       \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)}\)       og       \(\frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\)   

Som beskrevet skal man kende et par, og yderligere en oplysning for at kunne benytte sinusrelationerne, altså:

  • vinkel A og side a (og en anden vilkårlig vinkel eller side)
  • vinkel B og side b (og en anden vilkårlig vinkel eller side)
  • vinkel C og side c (og en anden vilkårlig vinkel eller side)

Med én anden oplysning, kan man udregne den anden del af det par. Når man har to hele par, kan man finde den tredje vinkel ved hjælp af den samlede vinkelsum på \(180°\). Derefter kan man bruge en anden sinusrelation til at finde den sidste ukendte side i det par. Bogstaverne og navnene på vinkler og sider kan variere meget, så det er vigtigt at holde styr på hvilke vinkler og sider, der skal parres sammen.

Et afgørende karakteristika skal man være særlig opmærksom på, når det drejer sig om sinus og dermed sinusrelationerne. Det gælder nemlig:

\(\sin (v) = \sin (180-v)\).

Sinusfælden eller det dobbelttydige tilfælde betyder, at trekanten kan have mere end en løsning. Se trekantsberegning, for yderligere forklaring om det dobbelttydige tilfælde.

Eksempel 1

I en vilkårlig trekant ABC kender man følgende mål:

\(\angle A = 38° , \angle B = 72°\) og side \(a = 76\) cm

Beregn side \(b\)?

Sinusrelation med \(a\) og \(b\) benyttes:

  \(\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)}\)
\(\Downarrow\)
  \(\frac{76}{\sin(38)} = \frac{b}{\sin(72)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{76 \cdot \sin(72)}{\sin(38)} = b\)
\(\Updownarrow\)
  \(b = 117,40\)

Dermed er sidestykket \(b = 117,40\) cm

Eksempel 2

Om en vilkårlig trekant DEF har man følgende oplysninger:

\(\angle E = 56°\) , side \(e = 12,1\) cm  og side \(f = 9,8\) cm

f = 9,8 cm F D E e = 12,1 cm f = 9,8 cm d 56°
En skitse af trekant DEF (ikke eksakte mål).

Beregn de resterende sider og vinkler?

Der er et helt par, idet man kender både \(\angle E\) og side \(e\). I dette tilfælde skal den omvendte sinusrelation med \(e\) og \(f\) derfor benyttes.

  \(\frac{\sin(E)}{e} = \frac{\sin(F)}{f}\)
\(\Downarrow\)
  
\(\frac{\sin(56)}{12,1} = \frac{\sin(F)}{9,8}\)
\(\Updownarrow\)
  
\(\frac{\sin(56) \cdot 9,8}{12,1} = \sin(F)\)
\(\Updownarrow\)
  \(\sin(F) = 0,671451918\)
\(\Updownarrow\)
  \(F= \sin^{-1} (0,671451918)\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = 42,18\)

Dermed er \(\angle F = 42,18°\)

Den vinkel ser ud til at passe fint med skitsen, så det dobbelttydige tilfælde er ikke i spil her.

\(\angle D\) kan nu udregnes ved at trække de to andre vinkler for en trekants vinkelsum på \(180°\):

\(\angle D = 180° - 56° - 42,18° ⇔ \angle D = 81,82°\)

Nu kan side \(d\) beregnes med en sinusrelation:

  \(\frac{d}{\sin(D)} = \frac{e}{\sin(E)}\)
\(\Downarrow\)
  \(\frac{d}{\sin(81,82)} = \frac{12,1}{\sin(56)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(d = \frac{12,1 \cdot \sin(81,82)}{\sin(56)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(d = 14,45\)

Dermed er side \(d = 14,45\) cm