Trekantsberegning

Trekantsberegning beskriver de udregninger, man skal foretage af vinkler og sider, ud fra hvilke oplysninger man har om trekanten. Det afhænger for det første af, om det er en retvinklet trekant eller en vilkårlig trekanter. Finder man undervejs i beregningerne ud af, at man har en ret vinkel på \(90°\), kan man benytte Pythagoras, sinus, cosinus og tangens i resten af udregningerne.

Der gælder et par enkelte hovedregler i trekantsberegningen. For at kunne udregne de resterende sidelængder, skal man kende mindst én side på forhånd. For at sige noget om størrelsen på trekantens vinkler, behøver man ikke at kende nogen vinkler på forhånd, blot man kender alle tre sidelængder. Herunder skitseres de forskellige tilfælde af trekantsberegning, navngivet efter de oplysninger man kender på forhånd:

Tre sider

Trekantsberegningen er simpel når man kender tre sider. Den foretages ved at udregne en vinkel ad gangen, ved hjælp af cosinusrelationerne. Én efter én kan de tre vinkler beregnes, husk at summen af trekantens vinkler er \(180°\). Det gælder både vilkårlige og retvinklede trekanter, hvor man dog på forhånd ved at én vinkel er \(90°\).

To sider og en mellemliggende vinkel

Kender man to sider og en mellemliggende vinkel, kan man ved hjælp af cosinusrelationerne finde længden på den sidste side. Altså den modstående side til den vinkel man kender. Derefter kan man enten benytte sinusrelationerne eller cosinusrelationerne til at finde endnu en vinkel. Derefter udregnes den sidste vinkel, da man ved at vinkelsummen er \(180°\).

To sider og en ikke-mellemliggende vinkel

Når man kender netop to sider og en ikke-mellemliggende vinkel, er der tale om det, der i trekantsberegningen, kaldes det dobbelttydige tilfælde. Det hedder det dobbelttydige tilfælde, da der i teorien kan være to trekanter med de givne oplysninger. Der kan også kun være én eller slet ingen trekant. Det kommer an på de givne oplysninger.

a = 4,5 C c b = 8 43° A
Det dobbelttydige tilfælde, hvor der med de givne oplysninger kan eksistere to forskellige trekanter.

Som figuren viser, kender man en vinkel A og en hosliggende side b. Derudover kender man den modstående side a til vinklen A. Men ikke side a's placering, da man ikke kender nogle af de vinkler omkring den. Måden man bestemmer trekanten på grafisk, er ved at afmåle sidelængden a med passeren med udgangspunkt i C. Derefter tegnes en cirkelbue med passeren.

  • Rammer cirkelbuen længden på det ukendte linjestykke c to steder, findes to trekanter. En stump trekant og en spids trekant.
  • Tangerer cirkelbuen netop linjestykket c i et punkt, er der kun tale om én trekant. I dette tilfælde er \(\angle B\) en ret vinkel.
  • Rammer den slet ikke, er det en falsk trekant. Det kan forekomme, men tjek for en sikkerheds skyld, at der ikke er fejl i dine egne beregninger.

Er der tale om to skæringspunkter, skal man angive de øvrige mål for begge trekanter. Måden man udregner på er ved hjælp af sinusrelationerne. Når man kender to sider og en ikke-mellemliggende vinkel, kender man altid et ’helt par’. Altså en vinkel og den modstående side af samme navn. Derfor kan man benytte en sinusrelation til at finde den vinkel (B), som er parret med den anden side (b) man kender. Det dobbelttydige tilfælde eller ’sinusfælden’ viser, at der er to mulige løsninger til denne vinkel, ud fra reglen: \(\sin (v) = sin (180°- v)\). Når man har fundet v, i dette eksempel \(B_1\), kan man efterfølgende finde den anden løsning for vinklen, \(B_2\).

\(B_2 = 180° – B_1\).

For både trekant \(AB_1C_1\) og trekant \(AB_2C_2\) kan man finde den tredje vinkel (\(C_1\) og \(C_2\)) ud fra en samlet vinkelsum på \(180°\). Derefter kan man finde længden på den sidste side for begge trekanter med en sinusrelation.

Er der derimod tale om en tangering af cirkelbuen og dermed en retvinklet trekant, kan den tredje vinkel nemt beregnes ud fra vinkelsummen på \(180°\). Derefter kan Pythagoras eller en sinusrelation benyttes til at finde den sidste sidelængde.

To vinkler og en mellemliggende side

Trekantsberegningen, når man kender to vinkler, påbegyndes ved at finde den tredje vinkel, da man kender trekantens samlede vinkelsum på \(180°\). Når man kender tre vinkler og en side har man et par (vinkel og tilhørende modstående side), og kan derfor benytte to forskellige sinusrelationer til at finde de to resterende sidelængder.

To vinkler og en ikke-mellemliggende side

Ud fra den samlede vinkelsum på \(180°\) kan man igen finde den tredje vinkel når man har to i forvejen. Igen skal man benytte sinusrelationerne til at finde de to resterende sidelængder da man igen har et helt par(vinkel og tilhørende side).

Tre vinkler

Trekantens mål kan ikke bestemmes, hvis man ikke som minimum kender én sidelængde.