"
>

Vektorer

Vektorer er en form for sammensatte tal, som generelt bruges til at beskrive forskellige former for bevægelse.

Vektorer har en retning og en længde. For en bevægelse kan vektorens længde ses som hastigheden af bevægelsen.

I to dimensioner beskrives en vektors retning ved, hvor meget den går ud af x-aksen, og hvor meget den går op af y-aksen.

Vi skriver vektorer således:

\vec{a} = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}

Her har vi altså en vektor kaldet a. Man kan se, at a er en vektor, og ikke et tal, på den lille pil over navnet. Vektoren a går x ud af x-aksen og y ud af y-aksen.

For eksempel:

\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}


Vektoren a vist i et koordinatsystem.

Vektoren a beskriver altså retningen, der går 3 hen af x-aksen og 2 op af y-aksen, hvilket svarer til en vinkel på omkring 34 grader.

Samtidig med at man beskriver retningen, beskriver man også vektorens længde. For at få længden kan man måle i koordinatsystemet, eller man kan beregne den. Se artiklen Vektorregning for hvordan man beregner længden af en vektor.

Vektorer behøver ikke være todimensionale, de kan også være tredimensionelle, hvilket betyder, at de har en ekstra række til z koordinatet i et tredimensionalt koordinatsystem.

\vec{a} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}

Faktisk kan vektorer have ligeså mange dimensioner, som man ønsker.

Vi kalder todimensionale vektorer for vektorer i planen og tredimensionelle vektorer for vektorer i rummet.

Vektorer kan repræsenteres på en del forskellige måder, hvor ovenstående er den mest hyppige. Når man skal skrive vektoren på en kompakt form, kan man skrive koordinaterne ved siden af hinanden i stedet for over hinanden:

a = (x,y,z)

Nogle gange definerer man en vektor ud fra to punkter. Hvis vi kalder de to punkter P1 og P2, skriver man vektoren som:

\overrightarrow{P1P2}

Dette beskriver altså en vektor, som går fra punktet P1 til punktet P2.

Nogle gange kan man også se vektorer, som er defineret direkte ud fra deres længde og vinkel, for eksempel på følgende måde:

\vec{a} = 3\angle 70^\circ

Her har vektoren a altså en længde på 3 og en vinkel på 70 grader.

Hvis en vektor har en længde på 1, kan vi kalde den en enhedsvektor. Enhedsvektorer er vigtige i mange sammenhænge, hvor vi er mere interesseret i en vektors retning end dens længde.

Enhedsvektorer er nemme at arbejde med, fordi vi kan bestemme deres længde ved bare at gange med skalar. Se Vektorregning.

Enhver vektor kan omdannes til en enhedsvektor. Det gør man ved at ved at dividere vektoren med dens længde.

En vektor, hvis koordinater alle er nul, kaldes en nulvektor. En nulvektor har samme rolle for vektorer, som nul har for tal. Blandt andet kan man, ligesom for tal, altid foretage addition med en nulvektor, da det ikke ændrer noget.

Vektorer har mange forskellige anvendelsesmuligheder. Et eksempel er parameterfremstilling af en linje, hvor man bruger en retningsvektor og en variabel skalar til at beskrive linjens bevægelse på grafen.

Linjens parameterfremstilling kan også generaliseres til vektorfunktioner, som består af en vektor og en variabel skalar. Hvis for eksempel en vektor r beskriver hastigheden og retningen af en partikel, kan vi gange denne med en tidsvariabel t, for at få partiklens position til en bestemt tid t:

\overrightarrow{Position(t)} = \vec{r} \cdot t

I fysik bruges vektorer blandt andet til at beskrive bevægelse, som ovenfor, og kræfter. Et eksempel er tyngdekraften, som har en retning, der peger ind mod jorden og en acceleration defineret af tyngdeaccelerationen

Positionen af et legeme, der påvirkes af tyngdekraften, kan altså beskrives ved hjælp af en vektorfunktion, som tager en sådan tyngdekraftvektor og en tidsvariabel.