{JF} - Ur

 Klokken 15:00

Hvad er klokken, når de to visere, står vinkelret på hinanden efter kl. 15.00. :-) 

#2

Da er kl. 15:32:43,636363...  (dvs 30·12/11 minutter efter kl 15:00:00).

#3

Hvordan gør du det? Jeg forstår ikke mellemregninger så godt. :)

#4

Lille viser bevæger sig med vinkelhastigheden ω₁ = 360^o/(12h) ,
mens store viser bevæger sig med vinkelhastigheden ω₂ = 360_o/(1h)

Regner vi vinklerne fra kl 12:00:00 med uret, og betragter vi tidspunktet kl 15:00:00 , vil store viser være ved vinklen 0^o , og lille viser vil være ved 90^o. Lille visers vinkel som funktion af tiden t efter kl 15:00:00 er da

φ₁(t) = 90^o + ω₁·t ,

og store visers vinkel som funktion af tiden t er da

φ₂(t) = 0^o + ω₂·t .

Næste gang efter kl 15:00:00 hvor viserne er vinkelret på hinanden, vil store viser være foran lille viser, og der vil da gælde, at φ₂ - φ₁ = 90^o . Vi skal da løse ligningen

φ₂(t) - φ₁(t) = 90^o , dvs

ω₂·t - (90^o + ω₁·t) = 90^o , eller

(ω₂ - ω₁)·t = 180^o , og dermed

360^o·(1/(1h) - 1/(12h))·t = 180^o , eller

t = (1/2)·(12/11)·1h = (12/11)·30min ,

hvor igen t er tiden efter kl. 15:00:00.

-----------------------------------------

En anden måde at betragte det på er ved at se på de relative bevægelser. Visernes vinkelhastigheder er som ovenfor ω₁ og ω₂ . Store visers vinkelhastighed i forhold til lille viser er da ω = ω₂ - ω₁ . For at være vinkelret igen på lille viser skal store viser bevæge sig 180^o i forhold til lille viser, hvilket vil tage tiden t bestemt ved

ω·t = 180^o ,

hvilket resulterer i den samme ligning til bestemmelse af t, som vi fandt ovenfor, altså

t = 180^o/(ω₂ - ω₁)

Hvis t skal isoleres;   360^o·(1/(1h) - 1/(12h))·t = 180^o    ... så giver det t = 0,545455 hours  =  32,7273 min  ...

                   ...  Hvilket også er det samme som    t = 180^o/(ω₂ - ω₁)    =   0,545455 hours  =  32,7273 min

Men, hvis jeg prøver at finde ud af, hvad klokken, når de to visere, står vinkelret på hinanden efter (fx) kl 16. Så, passer det ikke helt rigtigt. Hvordan skal det gøres?

#6

Viserne står vinkelret på hinanden første gang efter kl 16, når den store viser har flyttet sig 360^o i forhold til den lille viser, siden de sidst stod vinkelret på hinanden efter kl 15. Dvs, der skal gå tiden t₁ bestemt ved

t₁ = 360^o/(ω₂ - ω₁) = (12/11)·1h = 65,45454545... min

efter tidspunktet, hvor de var vinkleret på hinanden efter kl 15, dvs tiden

t₂ = (12/11)·1,5h = 98,181818...min efter kl 15, dvs kl 16:38:10,90909... = kl 16:38:10 ¹⁰/₁₁

Tiden t₁ er den tid, der går fra viserne er i en bestemt position, til de er i samme relative position næste gang:

t₁ = (12/11)·1h = 65,45454545... min = 1:05:27 ³/₁₁

Viserne var vinkelret på hinanden kl 15:32:43 ⁷/₁₁ , og det indtræffer derfor igen kl

15:32:43 ⁷/₁₁ + 1:05:27 ³/₁₁ = 16:38:10 ¹⁰/₁₁