Fordoblingskonstant

Fordoblingskonstanten står for, hvor mange x-værdier der går, før at y-værdien er fordoblet.

Hvis du ser et xy koordinatsystem foran dig, så vil du se at antal dage er hen ad x-aksen, mens størrelsen er op af y-aksen.

Hvis åkanden på dag 0 (x-aksen) fylder 1/30 af søen (y-aksen). Næste dag (1 på x-aksen) kan du se at åkanden er vokset til at fylde 2/30 af søen (y-værdien er altså 2). Det tager altså en dag for åkanden at fordoble sin størrelse og deraf ved du at fordoblingskonstanten er 1.

Da du ved at fordoblingskonstanten er 1, så ved du at der går 15 døgn før å-kanden fylder halvdelen af søen. 15 er netop det halve af 30.

Mange mange tak! Det var en super nem forklaring :-)

#0 der er et par felj i #1

det er rigtigt at fordoblingskonstanten er 1.

"Hvis åkanden på dag 0 (x-aksen) fylder 1/30 af søen (y-aksen). Næste dag (1 på x-aksen) kan du se at åkanden er vokset til at fylde 2/30 af søen (y-værdien er altså 2). Det tager altså en dag for åkanden at fordoble sin størrelse"

er forkert

hvis den på dag 1 har størrelsen 1 så er den 2 på dag 2

4 på dag 3

8 på dag 4 osv..

den er fuldt på 30 dage altså på dag 1 fylder den 1/2³⁰  på dag 2 2/2³⁰ osv.  del af søen.

#0

tænk lidt over sætningen "fordobler sin størrelse hvert døgn" hvor stor er den så dagen før? ⇒"hvor mange døgn er der så gået, når åkanden dækker halvdelen af søen?"=..

Nå ja, det havde jeg fuldstændig glemt alt om.

Jeg har noget fra en emneopgave, som jeg fik 12 for, som jeg lige kan kopiere ind:

Fordoblings- og halveringskonstant
Eksponentielle funktioner, har alle en fordoblings- eller halveringskonstant. Det fordoblings- og halveringskonstanten udtrykker, er, hvor mange perioder, der går, før dens værdi, er fordoblet eller halveret. Fordoblingskonstanten for en eksponentiel funktion, der vokser, hvor a>1 kaldes T2 Halveringskonstanten for en eksponentiel funktion, der aftager, hvor 0<a<1, kaldes T1/2
Man kan finde fordoblings- og halveringskonstanten vha. en graf eller en udregning:
Løsning på graf: Hvis man f.eks. vil finde fordoblingskonstanten for en funktion, f.eks. fra den funktion og graf ovenover f(x)=2*1,1487x skal man på grafen, først kigge på y-værdierne ovenfor f(0). Man går op til 2, der hvor funktionen skærer y-aksen. Derefter skal man finde det dobbelte af 2, 2*2=4 Derefter går man, på y-aksen, op til værdimængden 4, Derefter lægger man, f.eks. en lineal vandret, indtil den støder ind i funktionen, hvor den har y-værdien 4. Der hvor den støder ind i funktionen, på værdi 4, skal man kigge lige ned, for at aflæse, hvilken x-værdi, den på det tidspunkt har og dermed også, hvor mange x-værdier, den er vokset med siden f(0). Ved denne funktion, vil man kunne aflæse, at ved y-værdien 4, har funktionen x-værdien 5. Dermed er fordoblingskonstanten afstanden fra f(0) til f(5). Fordoblingskonstanten T2 er altså 5. Bevis for dette: f(x)=2*1,14875= 4 og f(x)=2*1,148710=8
For at finde halveringskonstanten, for en aftagende eksponentiel funktion, skal man stort set gøre det samme, som når man finder fordoblingskonstanten. Forskellen er dog at man skal tage halvdelen af en opgiven y-værdi, for derefter at aflæse hvor mange x-værdier, den har rykket sig, når den har den halve y-værdi.
OBS. Det skal siges, at det er meget nemmere at aflæse, hvis man har tegnet funktionen ind på et enkelt logaritmisk koordinatsystem.
Løsning vha. udregning
Formlen for at udregne fordoblingskonstanten T2: T2=Ln(2)/Ln(a)
Formlen for at udregne halveringskonstanten T1/2: T1/2=Ln(1/2)/Ln(a)
Eksempel på at finde fordoblingskonstanten, for den funktion, som der ovenover er vist et eksempel på, vha. aflæsning på graf. F(x)=2*1,1487x
T2=Ln(2)/Ln(1,1487) ≈ 5
Dette eksempel, viser igen, at fordoblingskonstanten, for denne funktion, er 5.

#3

#0

tænk lidt over sætningen "fordobler sin størrelse hvert døgn" hvor stor er den så dagen før? ⇒"hvor mange døgn er der så gået, når åkanden dækker halvdelen af søen?"=..

Den er vel dobbel så mindre, end dagen derpå? Eller? Nu er jeg lidt forvirret!

#5 noget dårligt formuleret....

hvis noget fordobler sin størrelse hvert døgn, så må det være halvt så stort dagen før så

"hvor mange døgn er der så gået, når åkanden dækker halvdelen af søen?"= x x

Prøv at se følgende eksempel

Dag 0 er den på størrelsen 1 

Dag 1 er dens størrelse på 2 

Dag 2 er dens størrelse på 4, det dobbelte af 2,

Dag 3 er dens størrelse på 8, det dobbelte af 3, 

Gør det samme ved åkanden

#6

Hvis åkanden dækker hele søen efter 30 døgn, så må der vel gå 15 døgn før den dækker halvdelen af søen? Hvis altså fordoblingskonstanten er 1.

Nej. At fordoblingskonstanten er 1 betyder at der går 1 x-værdi før y-værdien er fordoblet.

y-værdien vokser mere og mere dag for dag. Se eksemplet 

#7

Dag 3 er dens størrelse på 8, det dobbelte af 3, 

Du mener det dobbelte af 4 vel? 

Ja, min fejl. Sorry

#10

Dag 3 er dens størrelse på 8, det dobbelte af dag 2 menes der.

tror kun jeg kan give hints nu som bliver endnu mere matematisk og så hjælper det nok ikke det store.

så "hvor mange døgn er der så gået, når åkanden dækker halvdelen af søen?"= der er gået 29 dage.

men læs #3 og #7 igennem en gang til så kan du for håbelig se det.

#12

Når! Selvfølgelig! Hvis den for hver dag der går fordobles, og den er fyldt efter 30 dage, er den jo selvfølgelig halvt så stor dagen før = der går 29 dage før åkanden er fyldt! 

Korrekt? 

#13 ja:D

#14

Mange tak for hjælpen! Men, kan jeg forklare det på ^den måde? 

-

En sø er der en åkande, som fordobler sin størrelse hvert døgn.  ⇒ fordoblingskonstanten er lig med 1

Forskriften må da være:

f(x) = 1 • 2^x/1 = 2^x

Hvis åkanden dækker hele søen efter 30 døgn, hvor mange døgn er der så gået, når åkanden
dækker halvdelen af søen? 

^f(30)/₂ = ^{(2^30)}/₂ = 2^x ⇔  ^{log((2^30)/2)}/_log(2) = x  ⇒ 29 = x

Man kunne også beregne ved rent tænkeværk. Hvis f(x) fordobles hver dag, må det også betyde at den halveres for hver dag tilbage ...  Lad os antage vi befinder på dag 30, og vi ønsker at vide hvornår åkandernes mængde var halvt så stort som i dag - det må selvfølgelig være i går!