Løs ligningen f(x) =0

Man skal løse ligningen

        f(x) = x⁴ + 8x³ + 18x² + 16x + 5 = 0 .

Funktionen f(x) er et polynomium af 4. grad. At løse ligingen f(x) = 0 kaldes at finde rødderne i polynomiet f(x). Et polynomium af 4. grad kan højst have 4 forskellige rødder. Kan man gætte en rod, kan man ved polynomiers division reducere polynomiet til graden 3. Ved at gætte yderligere en rod, kan man reducere polynomiet til et 2.-gradspolynomium, hvis resterende rødder så kan bestemmes.

Bemærk, at summen af koefficienterne af lige grad er lig med summen af koefficienterne af ulige grad. Det betyder, at x = -1 er en rod.

   rødder
                  -1  og   -5

Hvordan i alverden "Gætter" man bare en rod? :) Er er ikke en metode man kan benytte sig af til 4.gradsligninger?

Gymnasiale matematikopgaver, er som regel lette at gætte rødder i:  x = 1, x = -1, osv.

I den "virkelige" verden, hvor en rod fx kan være  -61,376  er det langt sværere/omstændeligt.

Men en lommeregner includerer funktioner, der gætter sig systematisk frem vha. iteration, og kan endog gætte komplekse rødder.

Ved reelle 3. ( eller 5. , osv. ) gradsligninger kan du altid iterere dig frem til mindst en reel rod.

#3

Metoden til generelt at finde rødderne i et 4.-gradspolynomium er meget kompliceret. For de simple ligninger, der som regel gives i gymnasieklasserne, er gættemetoden ofte ganske brugbar. I øvrigt er det forklaret i #1 hvbordan man indser, at x = -1 er en rod i dette polynomium

        f(x) = 1·x⁴ + 8·x³ + 18·x² + 16·x + 5

Da summen af de lige koefficienter (de røde koefficienter) er lig med summen af de ulige koefficienter (de grønne koefficienter), er x = -1 en rod i polynomiet.

Foretages polynomier division med (x+1), har man så

        f(x) = x⁴ + 8x³ + 18x² + 16x + 5

             = (x+1)·(x³ + 7x² + 11x + 5) .

Polynomiet x³ + 7x² + 11x + 5 opfylder også den egenskab, at summen af de lige koefficienter er lig med summen af de ulige koefficienter, så vi har, at x = -1 også er rod i dette polynomium, dvs.

        f(x) = (x+1)·(x³ + 7x² + 11x + 5)

              = (x+1)·(x+1)·(x² + 6x +5) .

2.-gradspolynomiet x² + 6x + 5 faktoriseres let, så vi har

        f(x) = (x+1)·(x+1)·(x² + 6x +5)

             = (x+1)·(x+1)·(x+1)·(x+5)

             = (x+1)³·(x+5)

#5

God forklaring, men hvordan kunne man se, at polynomiet:

x³ + 7x² + 11x + 5

også opfyldte egenskaben med, at summen af de lige koefficienter er lig med summen af de ulige koefficienter?

Idet alle koefficienter er ulige, bliver summen:

1 + 7 + 11 + 5 = 24

Skal denne sum sammenlignes med det oprindelige 4. gradspolynomium?

#6

Ja, min sprogbrug blev åbenbart lidt for sløset for dem, der ikke havde fulgt med i timen. Med lige koefficienter mentes koefficienterne til leddene af lige grad, og med ulige koefficienter mentes koefficienterne til leddene af ulige grad, som det fremgår mere klart af forklaringen i #1 og også af farvelægningen i #5.

For et polynomium f(x) = ∑ⁿ_i=0 a_i·xⁱ benytter man blot, at

f(1) = ∑ⁿ_i=0 a_i   og    f(-1) = ∑_i(lige) a_i - ∑_i(ulige) a_i

#7

Doh! Du har ret.

Hvad hvis summen af de lige og de ulige grad ikke var lig hinanden?

#8

Ja, så er f(-1) ≠ 0 , og x = -1 er derfor ikke en rod.

Pointen er blot, at det er ganske let at undersøge, om x = 1 eller x = -1 er rod i et forelagt polynomium.

#9

Nu spørger jeg igen, men hvordan undersøger man, om x = 1 er en rod?

Det hænger garanteret sammen med f(1) = ∑ⁿ_i=0 a_i, men hvordan skal det forstås (med ord)?

#10

Man undersøger, om f(1) = ∑ⁿ_i=0 a_i er lig med 0, altså om summen af alle koefficienterne er lig med 0. Hvis det er tilfældet, er x = 1 en rod, ellers ikke.

#1:    Ad:

Bemærk, at summen af koefficienterne af lige grad er lig med summen af koefficienterne af ulige grad. Det betyder, at x = -1 er en rod.

Jeg finder det mærkværdigt, i praksis at skulle huske en sådan regel, for hvorfor skulle x = -1 dog være rod i et praktisk eksempel, altså uden for gymnasiets univers ?  Det er een ud af millionen, at det sker. Lærer man for skolen eller for livet ?

I praksis hedder ligningen:

f(x) = x⁴ + 8x³ + 18x² + 16x + 5 = 0    ( der må her være tale om en måle/program fejl )   →

f(x) = x⁴ + 7,967x³ + 18,123x² + 15,922x + 5,185 = 0 .

Her er x ≠ -1, men hvad er den så ?

( Dog:  En langt mere anvendelig regel er, at hvis summen af alle koefficienter = 0, så er x = 1  rod: Hvis denne rod optræder som pol i et digitalt filter ( z-tranformation ), indeholder filteret en ren integrator, hvilket man meget ofte tilstræber. Altså det kan man bruge til noget i praksis:  9 ud af 10, ved digitale filtre. Der findes mange jobs hos Oticon, B&O og andre firmaer, der anvender digitale filtre)