Matematik

Brug for hjælp :)

25. september 2018 af PabloES (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

For ethvert t ∈ R, definerer vi på mængden af alle par af vektorer fra vektorrummet R3 en afbildning ft: R3 x R3 --> R, som er givet ved forskriften: ∀(x,y) ∈ R3 X R3 : ft (x,y) = t2x1y1+x2y2+x3y3/t2 , hvor x = (x1,x2,x3) og y=(y1,y2,y3). Desuden betrager vi vektorerne v= (2,1,-3) og u=(1,1,2) fra vektorrummet R^3

1) Vis at for ethvert tal t ∈ R er afbildningen ft et indre produkt på vektorrummet R3

2) Bestem det tal t0 ∈ R, såldes at ft (v,v) bliver mindst mulig, og bestem dernæst værdien ft0 (v,v)

3) Bestem det tal t1 ∈ R, således at ft1 (v,u) = 0

Hjælp

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. september 2018 af swpply (Slettet)

Når du skriver t2 mener du så t eller t² ?

Altså er funktionen givet ved

(1) $f_t(x,y) = tx_1y_1 + x_2y_2 + \frac{x_3y_3}{t}$

eller er funktionen givet ved

(2) $f_t(x,y) = t^2x_1y_1 + x_2y_2 + \frac{x_3y_3}{t^2}$

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Never mind, det er lykkes mig indse udfra spørgsmål 2 at det (2) der er tale om ;-)

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. september 2018 af swpply (Slettet)

Vis at for ethvert tal $t\in\mathbb{R}$ er afbildningen $f_t$ et indre produkt på vektorrummet $\mathbb{R}^3$ :

1. Lad $x,y,z\in\mathbb{R}^3$ være arbitrær valgte. Da følger det ved den distributiv lov at $f_t(x+z,y) = f_t(x,y) + f_t(z,y)$ . Mere explicit har du at

$\begin{align*} f_t(x+z,y) &= t^2(x_1+z_1)y_1 + (x_2+z_2)y_2 + \frac{(x_3+z_3)y_3}{t^2} \\ &=t^2x_1y_1+tz_1y_1 + x_2y_2+z_2y_2 + \frac{x_3y_3}{t^2} + \frac{z_3y_3}{t^2} \\ &= t^2x_1y_1 + x_2y_2 + \frac{x_3y_3}{t^2} + tz_1y_1 + z_2y_2 + \frac{z_3y_3}{t^2} \\ &=f_t(x,y) + f_t(z,y) \end{align*}$

2. Lad $x,y\in\mathbb{R}^3$ og $\alpha\in\mathbb{R}$ være arbitrær valgte, da gælder der at

$\begin{align*} f_t(x,y) &= t^2(\alpha x_1)y_1 + ( \alpha x_2)y_2 + \frac{(\alpha x_3)y_3}{t^2} \\ &= \alpha\bigg(t^2 x_1y_1 + x_2y_2 + \frac{x_3y_3}{t^2}\bigg) \\ &= \alpha f_t(x,y) \end{align*}$

3. Lad $x,y\in\mathbb{R}^3$ være aribtrær valgte, da følger det ved den kommutative lov for multiplikation at $f_t(x,y) = f_t(y,x)$ . Lav evt. udregning sammenlignelig med ovenstående.

4. Vælg et arbitær $x\in\mathbb{R}^2$ da gælder det at

$\begin{align*} f_t(x,x) &= t^2 x_1^2 + x_2^2 + \frac{x_3^2}{t^2} \geq0 \end{align*}$

eftersom hvert led er ikke-negativt og summen af en række ikke-negative tal er ikke-negativt. Ydermere har du at $f_t(x,x) = 0$ hvis og kun hvis $x = 0$ .

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. september 2018 af swpply (Slettet)

Bestem det tal $t_0\in\mathbb{R}$ , såldes at $f_t(v,v)$ bliver mindst mulig:

Begynd med at bestemme forskriften for $f_t(v,v)$ :

$f_t(v,v) = 4t^2 + 1 + \frac{9}{t^2}$

og løs ligningen

$\frac{d}{dt}f_t(v,v) = 0$

(Hint, symmetrien af $f_t(v,v)$ giver at der er to løsninger )

Bestem dernæst værdien $f_{t_0}(v,v)$ :

Denne del af opgaven behøves hvis ikke nogen forklaring.

Bestem det tal $t_1\in\mathbb{R}$ , således at $f_t(u,v) = 0$ :

Begynd med at bestemme forskriften for $f_t(u,v)$

$f_t(u,v) = 2t^2 + 1 - \frac{6}{t^2}$

Du skal derfor løsse "fjerdegradsligning"

$2t^4 + t^2 - 6 = 0$

(Hint, lad $\xi = t^2$ )

Skriv et svar til: Brug for hjælp :)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.