Matematik

Cirkeltangenter

18. december 2018 af Guest123 (Slettet) - Niveau: B-niveau

En cirkel har ligningen (x-6)^2 + (y-2)^2 = 25. En linje l er givet ved ligningen x - 2y + 3 = 0.
A) bestem koordinatsættene til skæringspunkterne P og Q mellem cirklens og linjen.

X = 2y - 3

Denne værdi for x sættes ind i cirklens ligning:
(-2y-3-6)^2 + (y-2)^2 = 25

Mit CAS-værktøj siger, at ligningen ikke har nogen løsninger. Hvad gør jeg forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. december 2018 af mathon

$\small x=2y-3\qquad \textup{ikke}\qquad x=-2y-3$

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. december 2018 af mathon

$\small \left (2y-3-6 \right )^2+(y-2)^2=25$

$\small \left (2y-9 \right )^2+(y-2)^2=25$

$\small 4y^2-36y+81+y^2-4y+4-25=0$

$\small 5y^2-40y+60=0$

$\small y^2-8y+12=0$

$\small y=\left\{\begin{matrix} 2\\6 \end{matrix}\right.$

$\small x=2\cdot \{2,6\}-3=\{4,12\}-3=\left\{\begin{matrix} 1\\9 \end{matrix}\right.$
Skæringspunkter:

$\small (1,2)\qquad\textup{og}\qquad (9,6)$

Svar #3
18. december 2018 af Guest123 (Slettet)

#2

       $\small \left (2y-3-6 \right )^2+(y-2)^2=25$

   $\small \left (2y-9 \right )^2+(y-2)^2=25$

   $\small 4y^2-36y+81+y^2-4y+4-25=0$

   $\small 5y^2-40y+60=0$

   $\small y^2-8y+12=0$

   $\small y=\left\{\begin{matrix} 2\\6 \end{matrix}\right.$

   $\small x=2\cdot \{2,6\}-3=\{4,12\}-3=\left\{\begin{matrix} 1\\9 \end{matrix}\right.$
Skæringspunkter:

   $\small (1,2)\qquad\textup{og}\qquad (9,6)$

Næste opgave lyder: Bestem ligningerne for tangenterne til cirklen, der har P og Q som røringspunkter.

Betyder det, at man får to ligninger, dvs. en for P og en for Q?

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. december 2018 af mathon

Ja.

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. december 2018 af mathon

Cirkeltangent med kendt røringspunkt:

cirkel:
$\small \left ( x-a \right )\left ( x-a \right )+ \left ( y-b \right )\left ( y-b \right )=r^2$

cirkeltangent i P_o=(x_o,y_o):

$\small \left ( x_o-a \right )\left ( x-a \right )+ \left ( y_o-b \right )\left ( y-b \right )=r^2$

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. december 2018 af mathon

dvs
cirkel:
$\small \small \left ( x-6 \right )\left ( x-6 \right )+ \left ( y-2 \right )\left ( y-2 \right )=25$

cirkeltangent i P=(1,2):

$\small \left ( 1-6 \right )\left ( x-6 \right )+ \left ( 2-2 \right )\left ( y-2 \right )=25$

cirkeltangent i Q=(9,6):

$\small \left ( 9-6 \right )\left ( x-6 \right )+ \left ( 6-2 \right )\left ( y-2 \right )=25$

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. december 2018 af mathon

eller
   En normalvektor til tangenten i P(1,2)
   er:
      $\small \small \overrightarrow{n_P}=\begin{pmatrix} 1-6\\2-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\0 \end{pmatrix}$

tangentligning:
$\small \begin{pmatrix} -5\\0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-1\\ y-2 \end{pmatrix}=0$

En normalvektor til tangenten i Q(9,6)
er:
$\small \overrightarrow{n_Q}=\begin{pmatrix} 9-6\\6-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}$

tangentligning:
$\small \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-9\\ y-6 \end{pmatrix}=0$

Svar #8
20. december 2018 af Guest123 (Slettet)

#7
eller
   En normalvektor til tangenten i P(1,2)
   er:
      $\small \small \overrightarrow{n_P}=\begin{pmatrix} 1-6\\2-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5\\0 \end{pmatrix}$

tangentligning:
      $\small \begin{pmatrix} -5\\0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-1\\ y-2 \end{pmatrix}=0$

En normalvektor til tangenten i Q(9,6)
   er:
      $\small \overrightarrow{n_Q}=\begin{pmatrix} 9-6\\6-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}$

tangentligning:
      $\small \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-9\\ y-6 \end{pmatrix}=0$

Er dette korrekt?
Bestem ligningerne for tangenterne til cirklen, der har P og Q som røringspunkter.
Vi starter med P:
Vi finder normalvektoren ved at bruge formlen for vektorer mellem to punkter:
n ?=(PC) ?=(1-6 2-2))=(-5 0)
Vi indsætter i linjens ligning:
a(x-x_0 )+b(y-y_0 )=0
-5(x-6)+0(y-2)=0
-5x-30=0
Ligningen for tangenten til cirklen, der har P som røringspunkt er
-5x-30=0
Q:
n ?=(PQ) ?=(9-6 6-2))=(3 4)
3(x-6)+4(y-2)=0
3x-18+4y-8=0
3x-4y-26=0
Bestem røringspunkterne for de tangenter til cirklen, der er parallelle med l.
r ?=n ?_l= (1 -2)
(x y) = (6 2) +t (1 -2))
x=6+t y=2-2t
(6+t-6)^2+(2-2t-2)^2=25
t=-2,236068 ∨ t=2,236068
(x y))=(6 2) -2,236 (1 -2)=(3,764 6,472)
(x y)= (6 2)+2,236(1 -2)≈(8,236 -2,472)
En linje har ligningen 3x+7y-18=0, og en cirkel har ligningen (x+3)^2+(y-5)^2=36.
Bestem røringspunkterne for de tangenter til cirklen, der er parallelle med linjen. Bestem tangenternes ligninger.
Vi finder en parameterfremstilling for linjen ved at bruge en normalvektor for l som retningsvektor:
r ?=n ?_1= (3 7)
Man ved, at linjen gennem røringspunkterne går gennem centrum C(-3, 5). Dette punkt giver samen med retningsvektoren parameterfremstillingen:
(x y) = (-2 5)+t (3 7)
Vi indsætter linjens koordinatfunktioner:
x=-2+3t y=5+7t
Ind i cirklens ligning:
(-2+3t+3)^2+(5+7t-5)^2=36
t=0,726815304 ∨ t=-0,83026358
De to værdier af parameteren t kan nu sættes ind i parameterfremstillingen og man får:
t=0,726: (x y) = (-2 5) +0,726 (3 7))≈ (0,178 10,082)
t=-0,830: (x y) =(-2 5)-0,830(3 7)≈(-4,49 -0,81)
De to tangenter, der er parallelle med linjen l, rører cirklen i punkterne (0,178; 10,082) og (-4,49; -0,81).
Vi finder tangentens ligning for punktet (0,178; 10,082). Vi starter med at finde normalvektoren vha. formlen for vektorer mellem to punkter:
(PC) ?= (0,178+3 10,082-5) ≈ (3,178 5,082)
Vi indsætter i linjens ligning:
a(x-x_0 )+b(y-y_0 )=0
3,178(x-3)+10,082(y+5)=0
3,178x-9,534+10,082y+50,41=0
3,178x+10,082y+40,876=0
Tangentens ligning for punktet (0,178; 10,082) er 3,178x+10,082y+40,876=0
Vi bruger samme udregning for punktet (-4,49; -0,81):
(-4,49+3 -0,81-5) ≈ (-1,49 -5,81)
-1,49(x-3)-5,81(y+5)=0
-1,49x+4,47-5,81y-29,05=0
-1,49-5,81y-24,58=0

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. december 2018 af mathon

&6 fortsat

dvs
cirkel:
$\small \small \left ( x-6 \right )\left ( x-6 \right )+ \left ( y-2 \right )\left ( y-2 \right )=25$

cirkeltangent i P=(1,2):

$\small \left ( 1-6 \right )\left ( x-6 \right )+ \left ( 2-2 \right )\left ( y-2 \right )=25$

$\small -5(x-6)=25$

$\small x-6=-5$

$\small x=1$

cirkeltangent i Q=(9,6):

$\small \left ( 9-6 \right )\left ( x-6 \right )+ \left ( 6-2 \right )\left ( y-2 \right )=25$

$\small 3\left ( x-6 \right )+4\left ( y-2 \right )=25$

$\small 3x-18+4y-8=25$

$\small 4y=-3x+51$

$\small y=-\tfrac{3}{4}x+\tfrac{51}{4}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. december 2018 af mathon

En linje har ligningen 3x+7y-18=0, og en cirkel har ligningen (x+3)^2+(y-5)^2=36.
Bestem røringspunkterne for de tangenter til cirklen, der er parallelle med linjen. Bestem tangenternes ligninger.

Tangenterne har normalvektor n = < 3,7 >
og røringspunkterne R₁ og R₂
bestemt ved:
$\small \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OC}\mp r\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\overrightarrow{OC}\mp \frac{r}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\cdot \overrightarrow{n}$

$\small R_1\textup{:}\quad\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\5 \end{pmatrix}-\frac{6}{\sqrt{58}}\cdot \begin{pmatrix} 3\\7 \end{pmatrix}=\left ( \frac{-9\sqrt{58}}{29}-3\, ;5-\frac{21\sqrt{58}}{29} \right )$

$\small R_2\textup{:}\quad\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\5 \end{pmatrix}+\frac{6}{\sqrt{58}}\cdot \begin{pmatrix} 3\\7 \end{pmatrix}=\left ( \frac{9\sqrt{58}}{29}-3\, ;5+\frac{21\sqrt{58}}{29} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #11
20. december 2018 af mathon

Cirkeltangenter:
$\small t_1\textup{:}\quad\begin{pmatrix} 3\\7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-\left ( \frac{-9\sqrt{58}}{29}-3 \right )\\y-\left (5-\frac{21\sqrt{58}}{29} \right) \end{pmatrix}=0$

$\small t_2\textup{:}\quad\begin{pmatrix} 3\\7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-\left ( \frac{9\sqrt{58}}{29}-3 \right )\\y-\left (5+\frac{21\sqrt{58}}{29} \right) \end{pmatrix}=0$

Svar #12
21. december 2018 af Guest123 (Slettet)

#11
Cirkeltangenter:
$\small t_1\textup{:}\quad\begin{pmatrix} 3\\7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-\left ( \frac{-9\sqrt{58}}{29}-3 \right )\\y-\left (5-\frac{21\sqrt{58}}{29} \right) \end{pmatrix}=0$

$\small t_2\textup{:}\quad\begin{pmatrix} 3\\7 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-\left ( \frac{9\sqrt{58}}{29}-3 \right )\\y-\left (5+\frac{21\sqrt{58}}{29} \right) \end{pmatrix}=0$

Den ene tangents ligning bliver:
3x+7y=-19,7

Den anden tangents ligning bliver:
3x+7y=71,7

Korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #13
21. december 2018 af mathon

Skriv et svar til: Cirkeltangenter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.