Matematik

Differentialligning - har brug for akut hjælp

20. januar 2019 af Poro - Niveau: A-niveau

Jeg sidder med et længere matematik sæt fyldt med differentialligninger. Jeg har fået løst alle opgaverne på nær den sidste som jeg ikke kan få løst. Det kommer af at, der både er angivet T(0)=6 og T(2)=13, som jeg ikke ved hvordan jeg skal løse differentialligningen med. Normalt ser jeg kun, at der er en af de oplysninger. Håber nogle kan hjælpe. Filen bør være vedhæftet


Brugbart svar (1)

Svar #1
20. januar 2019 af Sveppalyf

dT/dx = k(20-T)

Ved brug af metoden "separation af de variable" fås

∫ 1/(20-T) dT = ∫ k dx + c  <=>

-ln(20-T) = kx + c  <=>

20 - T = e-kx - c  <=>

20 - T = e-c * e-kx  <=>

(Jeg omdøber konstanten e-c til C.)

20 - T = Ce-kx  <=>

T = 20 - Ce-kx

Så skal vi have bestemt C og k.

T(0) = 6 giver os at

6 = 20 - Ce-k*0  <=>

C = 14

T(2) = 13 giver os at

13 = 20 - 14*e-k*2  <=>

e-2k = ½  <=>

k = -ln(½)/2  <=>

k = 0,3466

Så forskriften bliver

T = 20 - 14*e-0,3466x


Brugbart svar (1)

Svar #2
20. januar 2019 af peter lind

Du skal i første omgang finde den generelle løsning, som er uafhængig af T(0) og T(2). Det kan du gøre ved brug af panserformlen eller hvis det er tilladt med et CAS værktøj' Derefter indsætter du de to målinger i den generelle formel for at bestemme integrationskonstanterne. Det giver to ligninger med to ubekendte


Svar #3
20. januar 2019 af Poro

#2 Jeg forstår godt fremgangsmetoden, men jeg er fuldstændig blank, hvordan jeg får sat 2 start betingelser ind i maple for at løse det. Har du nogen idé om, hvordan det gøres? Hvad jeg mener er, at jeg godt kan finde den generelle løsning i maple, men jeg er lidt tabt, hvordan jeg gær resten i Maple, da min lærer vil have det løst i maple og ikke i hånden. 


Svar #4
20. januar 2019 af Poro

#1

Forstår ikke hvordan du går gennem nedstående trin. Kan du forklare det?

dT/dx = k(20-T)

Ved brug af metoden "separation af de variable" fås

∫ 1/(20-T) dT = ∫ k dx + c  <=>

-ln(20-T) = kx + c  <=>


Brugbart svar (1)

Svar #5
20. januar 2019 af peter lind

Jeg kender ikke maple, så det kan jeg ikke. Du kan dog skrive de to ligninger op  og lade maple løse dem.


Svar #6
20. januar 2019 af Poro

#5 Er der andre CAS værktøjer du ved hvordan det indskrives? Tror godt jeg kan overføre det fra redskab til redskab


Brugbart svar (1)

Svar #7
20. januar 2019 af peter lind

#14 gang med -1. så får du ln(20-T) = -kx-c  Derefter bruger du exponentialfunktion på begge sider af lighedstegnet. Så får du 20-T = e-kx-c <=> T = 20-e-c*e-kx = 20-c1*e-kx hvor c1 er en ny konstant.

Jeg kender ikke noget andet CAS værktøj, der ligner maple


Brugbart svar (1)

Svar #8
20. januar 2019 af Sveppalyf

"Separation af de variable" kan bruges når du har en differentialligning af formen

dy/dx = f(x) * g(y)

Altså at du på højresiden har noget som kun indeholder x ganget med noget som kun indeholder y.

Løsningen er så

∫ 1/g(y) dt = ∫ f(x) dx + c

Som en huskeregel (det er ikke helt matematisk stringent) kan du gøre sådan:

dy/dx = f(x) * g(y)

Du samler alt med y og dy på venstre side og alt med x og dx på højre side:

1/g(y) * dy = f(x) * dx

Du integrerer så på begge sider og lægger en konstant c til på den ene side:

∫ 1/g(y) dy = ∫ f(x) dx + c

Her i opgaven har vi 

dT/dx = k(20-T)

Du kan lade (20-T) være den funktion som kun indeholder T, og så er k den funktion som kun har med x at gøre (x indgår slet ikke i den). Løsningen bliver så

∫ 1/(20-T) dT = ∫ k dx + c

og så finder jeg stamfunktionerne.

Stamfunktionen til 1/(20-T) er -ln(20-T), og stamfunktionen til k er kx. Så vi har

-ln(20-T) = kx + c

osv.


Svar #9
20. januar 2019 af Poro

Super. Mange tak for hjælpen til jer begge #1 og #2.


Skriv et svar til: Differentialligning - har brug for akut hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.