Matematik

Vis funktionsfølgen er uniform konvergent.

23. maj 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP,

Jeg skal vise at $s^P(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{cos(nx)}{n^p},\: p>1$ er uniform konvergent.

Jeg har valgt at bruge Weierstrass' Majoranttest, men problemet opstår i at, når jeg laver sammenligningen mellem $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}\leq \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^q}, q\in(1,p)$ , så mener jeg bare at det ikke er stringent nok, og jeg ved ikke hvordan jeg vil bevise uniform konvergens mellem to talrækker, da definitionen for uniform konvergens kigger på afstanden mellem en funktionsfølge og dens grænseværdi.

Nogle gode idéer?

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. maj 2022 af oppenede

Summen af 1/n^p er konvergent for p > 1, hvorfor du, givet ε > 0, kan vælge m så uligheden længst til højre i nedenstående gælder. Med det m har du:

$\left|\sum_{n=m}^\infty \frac{cos(nx)}{n^p}\right|\leq \sum_{n=m}^\infty \left|\frac{cos(nx)}{n^p}\right|\leq \sum_{n=m}^\infty \frac{1}{n^p}\leq\varepsilon$

hvilket viser at m virker for alle x, hvorfor din sum konvergerer uniformt.

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. maj 2022 af migmigmig22 (Slettet)

#1 Er konklusionen af uligheden, at rækken er en Cauchyfølge for hvert x? Og dernæst Cauchy -> uniform konvergens?

Skriv et svar til: Vis funktionsfølgen er uniform konvergent.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.