Matematik

Bestem koefficienterne cn således y(t) bliver en løsning til diff. ligningen.

16. august 2022 af MandenMedMangeHatte - Niveau: Universitet/Videregående

Problem: Betragt diff.ligningen $\dot{y}-\frac{1}{t}y=\sin t, \:t>0$ .

Lad

$y(t) = \sum_{n=0}^\infty c_nt^n$

og bestem så koeffcienterne cn således, at y(t) bliver en løsning til differentialligningen.

Løsningen: $y(t) = c_1t - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1} \frac{1}{(2n-1)!}t^{2n}$

Kan I hjælpe mig: oppenede, mathon, SuneChr, Soeffi, ringstedLC, EksperimentalFysiker, Anders521? Jeg har allerede forsøgt at stille spørgsmålet på Math.StackExchange, men uden held:

https://math.stackexchange.com/questions/4512413/with-the-differential-equation-doty-frac1ty-sin-t-let-yt-sum-c

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. august 2022 af peter lind

brug at rækkeudviklingen for sin(t) = t - t³/3! + t⁵/5! - t⁷/7! + ....

Svar #2
16. august 2022 af MandenMedMangeHatte

#0 Ja det er oplagt, og det har jeg forsøgt, men jeg har ikke kunnet komme frem til et svar der matcher facit. Specielt leddet c_1t kan jeg ikke se hvor skulle komme fra.

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. august 2022 af peter lind

Din første ligning er forkert. Du sætter korrekt nok y' = sum der løber fra n = 1; men derefter lader du summen løbe fra n = 0. Derved adderer du jo c0 tll resultatet

Svar #4
16. august 2022 af MandenMedMangeHatte

Den første ligning er god nok. Inde i summen står c_n*n*t^(n-1).
Det er ligemeget om summen starter i 0 eller 1, fordi c_0 * 0 * t^(-1) = 0.
Derfor er det okay at starte summen i 0 i stedet for 1, enig?

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. august 2022 af peter lind

Nej. Det led du adderer er c0*t^-1

Svar #6
16. august 2022 af MandenMedMangeHatte

Jeg kan ikke være enig med dig, peter. Kan du mon se en fejl i disse omskrivninger?

Brugbart svar (0)

Svar #7
17. august 2022 af peter lind

undskyld. Du har ret.

Du kan i stedet differentiere det foreslået udtryk og se om det stemmer

Skriv et svar til: Bestem koefficienterne cn således y(t) bliver en løsning til diff. ligningen.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.