Matematik

Kvotient reglen

16. februar kl. 08:08 af DoctorManhatten - Niveau: A-niveau

Hej alle.

Er der nogen som kan hjælpe mig med at finde den radiale acceleration ved hjælp af kvotient reglen.

Det skal lige siges at jeg allerede har fundet et udtryk for den radiale acceleration ved hjælp af calculus.

Udtrykket giver følgende:

a_R = w²(t)*r

Men som sagt så kunne jeg godt tænke mig at finde det selv samme udtryk bare ved hjælp af kvotient reglen.

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. februar kl. 11:29 af mathon

med koordinatsystemet anbragt i cirklens centrum:

$\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\varphi (t))\\ r\cdot \sin(\varphi (t)) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\varphi (t))\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}\\ r\cdot \cos(\varphi (t))\cdot \frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d^2} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -r\cdot \cos(\varphi (t))\cdot \left (\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2-r\cdot \sin(\varphi (t))\cdot \frac{\mathrm{d^2}\varphi }{\mathrm{d} t^2}\\ -r\cdot \sin(\varphi (t))\cdot \left (\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2+r\cdot \cos(\varphi (t))\cdot \frac{\mathrm{d^2}\varphi }{\mathrm{d} t^2} \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{a}=-\left (\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t} \right )^2\cdot \overrightarrow{r}+\frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2}\cdot\widehat{ \overrightarrow{r}}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. februar kl. 11:43 af mathon

som specifikt for den jævne cirkelbevægelse
med konstant vinkelhastighed

$\frac{\mathrm{d} \varphi }{\mathrm{d} t}=\omega$

ved integration giver:

$\int d\varphi =\varphi=\omega\cdot t+ \varphi_o$

ved differentiation giver

$\frac{\mathrm{d^2} \varphi }{\mathrm{d} t^2}=0$

hvoraf:

$\overrightarrow{r}(t)=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(\omega (t)+\varphi _0)\\ r\cdot \sin(\omega (t)+\varphi _0) \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{v}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\omega (t)+\varphi_0)\cdot \omega \\ r\cdot \cos(\omega (t)+\varphi_0)\cdot \omega \end{pmatrix}=\omega \cdot \widehat{\overrightarrow{r}}(t)$

$\overrightarrow{a}(t)=\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d^2} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t^2}=\begin{pmatrix} -r\cdot \cos(\omega(t)+\varphi_0)\cdot \omega ^2\\ -r\cdot \sin(\omega (t)+\varphi_0)\cdot\omega ^2 \end{pmatrix}=-\omega ^2\cdot \overrightarrow{r}(t)$

$\left | \overrightarrow{a} \right |=\omega ^2\cdot r=\frac{v^2}{r}$

selv når $\left | \overrightarrow{a} \right |$ er konstant, varierer $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F_{res}}}{m}$ , da $\overrightarrow{F_{res}}(t)$ varierer.

Accelerationen medgår udelukkende til legemets konstante retningskift.

Svar #3
16. februar kl. 12:05 af DoctorManhatten

Hej igen. Jeg synes ikke at det ser ud som om at I bruger kvotient reglen. Som sagt så har jeg lavet tilsvarende beregninger. Men ikke ved hjælp af kvotient regler. Jeg vil gerne hvis der er nogen som kan finde den radiale acceleration ved hjælp af kvotient reglen.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. februar kl. 14:44 af mathon

Hvad kalder du det her?

Svar #5
16. februar kl. 14:58 af DoctorManhatten

Hej igen.

Jeg synes ikke at kvotient reglen plejer at se sådan ud.

Er dette her ikke kvotient reglen?

h^'(x)=(f^'(x)*g(x)-g^'(x)*f(x))/((g(x))²

Svar #6
16. februar kl. 16:15 af DoctorManhatten

Grunden til at jeg spørger om dette er at jeg har følgende:

α_R = dω/dt = d(((v_⊥)/(r(θ(t),r))/(dt)) = ?

Hvad er f(x) = ?

Hvad er (df(x)/dx) = ?

Hvad er g(x) = ?

Hvad er (dg(x)/dx) = ?

(dh(x)/dx) = ((df(x)/dx)*(g(x)) - (dg(x)/dx)*f(x))/(g(x))²

Det kan godt være at der ikke er helt styr på parenteserne her. Men (I) kender ovenfornævnte formel udmærket.

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. februar kl. 17:01 af mathon

Det er PRODUKTREGLEN kombineret med DIFFERENTIATION af SAMMENSAT FUNKTION.

Skriv et svar til: Kvotient reglen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.