Atmosfærens densitet, Vejen til Fysik A2, Opgave 22, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

a) De to løsninger er ens (måske bortset fra lidt med decimaler, afrunding eller fitting) da:

b) Tja det kan være de har regnet facit med flere/færre decimaler end opgivet.

c) Sæt d(h) = d(0)/2

d og e) Opgaven spørger om der er en "enkel" sammenhæng. Evt kan både lineær og eksponentiel regression laves og R² og residualspredning kan sammenlignes for hvilken model der er bedst. Der må helt sikkert også findes noget information på nettet om lufttemperatur i den nederste del af atmosfæren er lineær afhænging af altitude.

#0

Og får følgende forskrift 

y = 1,2249e^(-0,096x)

I facitlisten er facit:

   d = 1,22 • 0.908^h 

Mit spørgsmål er hvilke af de to løsninger bedst beskriver at densiteten med tilnærmelse aftager eksponentiel med højden?

Det gør de lige godt:

Til Svar #3 ringstedLC

Forskriften er:

y = 1,224e^{-0,096 x} 

Da jeg har anvendt Excel får man faktoren e^{-0,096 x}

Mit spørgsmål er, hvorfra kommer e^-0,096 x. Altså hvorfor anvendes eksponitialfunktionen e og hvor kommer eksponenterne -0,096 og x fra. 

På forhånd tak

#0

c) Hvor højt skal man op, før densiteten er under det halve af værdien ved jordoverfladen.?

Udnyt at væksten er eksponentiel:

Forskriften er:

y = 1,224^{e-0,096 x} 

Da jeg har anvendt Excel får man faktoren e^{-0,096 x}

Mit spørgsmål er, hvorfra kommer e^-0,096 . Altså hvorfor anvendes eksponitialfunktionen e og hvor kommer eksponenten -0,096 jeg går udfra at x er højden og det samme som h i facit er højden.

På forhånd tak

#0

d)

Men får følgende forskrift:

y = - 6,6857x + 14,957

Mit spørgsmål er, om temperaturen afhænger lineært af højden eller den afhænger eksponentielt af højden?

e) Er der en enkel sammenhæng mellem højde og temperatut?

d) Når du selv skal vælge regress.-.model, vælges selvfølgelig den bedste model.

Bemærk: I matematik er R²-værdier under 0.9 normalt ikke anvendelige.

e)

Se eventuelt https://lex.dk/atmosf%C3%A6ren

#6

Mit spørgsmål er, hvorfra kommer e^-0,096 . Altså hvorfor anvendes eksponitialfunktionen e og hvor kommer eksponenten -0,096

Eksp.-funktioner noteres oftest -, og navnlig i fysik som:

#6

jeg går udfra at x er højden og det samme som h i facit er højden.

Selvfølgelig!

Til Svar #8 ringstedLC

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak

Man bør være opmærksom på, at temperaturerne er opgivet i hele tal.
Således kan temperaturen, der er opgivet til 15º, være beliggende i intervallet [14,50º ; 15,50º[
Det giver et vist spænd i kravet om den ene eller anden models pålidelighed.

Jeg har prøvet at se på følgende opgaver:

a) Påvis, at densiteten med tilnærmelse aftager eksponentielt med højden og 

Opgave d. Tegn en graf, der viser hvordan temperaturen afhænger af højden og kombinerer den med e) Er der en enkel sammenhæng mellem højde og temperatur?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

a. Påvis, at densiteten med tilnærmelse aftager eksponentiel med højden.

Tabellen som jeg har anvendt Excel til at bestemme at densiteten med tilnærmelse aftager eksponentiel med højden få forskriften for at påvise, at densiteten med tilnærmelse aftager eksponentiel med højden. Og anvendt Excel til bestemme R-kvadreret værdi i Diagram

Højde km     Densitet kg/m3       Temp  C
    0                      1,22                     15
    0,25                 1,20                     13
    0,5                   1,17                     12
   0,75                  1,14                     10
   1,00                  1,11                       8
   1,50                  1,06                       5

Jeg har anvendt Excel på følgende måde men det er ikke muligt at selv om jeg taget en kopi af diagram i Excel at indsætte diagrammet her.

1. Markeret tallene i tabellen vedrørende højde i km og Densitet kg/m3

2. Indsæt: Diagrammer  og valgt punkt.

3. Højreklikket på et punkt

4. Tilfør tendenslinie.

   - valgt eksponentielt

  - Vis ligning i diagram

   - Vis R-kvadreret værdi i diagram

Og får følgende forskrift 

y = 1,2249e^(-0,096x)

R² = 0,9969

Til at bestemme hvorfor tallet e^(-0,096x) anvendes. Har jeg set på Svar #8 ringstedLC:

Eksp.-funktioner noteres oftest -, og navnlig i fysik som:

E( x) = b • e^{k • x}  =  b • a^x      ⇒ e^k = a

                                             k ln(e) = ln(a) 

                                                      k = ln(a)

                                            ⇒ e^{k • x} = e ^{ln(a) • x}

I facitlisten er  d = 1,22 • 0.908^h 

a = 0,908. og ln(0,908) = -0,096 som jeg indsætter i  e^k • x = e ^{ln(a) • x} .

e ^{ln(0,096) • x .}= e ^{-0,096 • x .}

Og bestemmer at d = 1,22 • 0.908^h kan skrives som d = 1,22 • e ^{-0,096 • h}.

Det er så mærkeligt at forfatterne i opgave 22  i Vejen til Fysik A2 ikke anvender at Eksp.-funktioner noteres oftest -, og navnlig i fysik som fremgår af ovenstående.

I Svar #7 ringstedLC

Står der

 Bemærk: I matematik er R²-værdier under 0.9 normalt ikke anvendelige.

Da R² =  0,9969, at densiteten med tilnærmelse aftager eksponentiel med højden.

d) Tegn en graf, der viser hvordan, temperaturen der afhænger af højden og 

Her er tabellen for Højde og temperatur. e) Er der en enkel sammenhæng mellem højde og temperatur.

Højde km     Temp  C
    0                15
    0,25           13
    0,5             12
    0,75           10
    1,00             8
    1,50             5

Jeg har anvendt Excel til at tegne grafen (i diagram) der viser hvordan, temperaturen der afhænger af højden og få forskriften for sammenhængen mellem højde og temperatur og bestemme R-kvadreret værdi i diagram. Det er ikke muligt at selv om jeg taget en kopi af diagram i Excel at indsætte diagrammet her.

Her er der et problem at afgøre:

1. Om temperaturen afhænger eksponentielt af højden

2. Om temperaturen afhænger liniært af højden. 

Jeg valgt at prøve begge muligheder.

1. Om temperaturen afhænger eksponentielt af højden

 y = 16,072e^(-0,728x)

R² = 0,9664

2. Om temperaturen afhænger liniært af højden. 

y = 14,957 +-6,6857x

R² = 0,9952

Jeg anvender R-kvadreret værdi (i Excel) til afgøre om temperaturen afhænger eksponentielt af højden eller om temperaturen afhænger liniært af højden. 

Jeg vælger at temperaturen afhænger lineært af højden er R² = 0,9952. R² er  højre end hvis temperaturen afhænger eksponentielt af højden hvor R² = 0,9664.

Men der en meget lille forskel på er R² = 0,9952 og R² = 0,9664. Forskellen er R² = 0,9952 er 0,0288 større end R² = 0,9664.

På forhånd tak

Til e) kunne man også bestemme korrelations-koefficienten som kvantificerer lineær afhængighed mellem to dataset. I Excel hedder funktionen =CORREL()

Til Svar # 12 jI9

Til e) kunne man også bestemme korrelations-koefficienten som kvantificerer lineær afhængighed mellem to dataset. I Excel hedder funktionen =CORREL()

=CORREL()

Jeg har prøvet at søge på Microsoft Excel, men den kan ikke finde den funktion.

På forhånd tak

Hvis højderne står i kolonne A række 1 til 6 og temperaturene i kolonne C, skriver man bare i et tomt felt:

=CORREL(A1:A6; C1:C6)

Eller helt magen til:

=PEARSON(A1:A6; C1:C6)

Til Svar #14 jl9

Tak for svaret

Jeg har vedhæftet en fil (Excel) hvor man gerne skulle se a) tabellen og diagram med forkrift og R² og det samme for d) og e)

Jeg håber at man kan se filen.

På forhånd tak

Man kan ikke se filen

Beklager

#11

Det er så mærkeligt at forfatterne i opgave 22  i Vejen til Fysik A2 ikke anvender at Eksp.-funktioner noteres oftest -, og navnlig i fysik som fremgår af ovenstående.

Man kunne omvendt også sige, at det er mærkeligt, at MS Excel, - et højt udviklet og ikke helt billigt regneprogram, ikke tilbyder et valg mellem de to former for notering. Det gøres der fx i GeoGebra.

Vælg, - og indstil, et passende værktøj!

#11

Men der en meget lille forskel på er R² = 0,9952 og R² = 0,9664. Forskellen er R² = 0,9952 er 0,0288 større end R² = 0,9664.

Bemærk at en perfekt regression har R² = 1 = 100% (Kan fx laves med netop to datasæt).

R²_L er altså 0.5% fra at være perfekt, mens R²_E kun er 96.6% perfekt. Det ses også tydeligt på dine diagrammer.

#16

Man kan ikke se filen

Beklager

Kun indsatte billedfiler vises!

Havde du vedhæftet et skærmbillede af arket, kunne det indsættes.

#15 det er vist sådanher (tror det er komma i stedet for semikolon):

=CORREL(A2:A7, D2:D7)

Jeg håber at filen kan ses.