Matematik

En kugle og en plan..

14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Hej allesammen,
Endnu en opgave, som jeg sidder med, og som også driller mig er:

En kugle K og en plan P er bestemt ved:

K: x^2-6x+y^2+4y+z^2-10z+22=0
P: x+2y-2z=5

Undersøg om P er tangentplan til K?

Hvordan skal jeg gøre dette? Nogle, som kan hjælpe mig? Måske give mig nogle hint:)

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. april 2008 af sigmund (Slettet)

Du kan undersøge, om den vinkelrette afstand fra kuglens centrum til planen er lig kuglens radius. Er dette tilfældet, er planen tangentplan, ellers ikke. Forstår du?

Svar #2
14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Jeg må først skulle omskrive K til kuglens ligning, så burde jeg kunne finde kuglens centrum, ikke? Men hvordan er det nu mht. den vinkelrette afstand?? Det lyder sgu' ellers meget rigtigt:)

Brugbart svar (0)

Svar #3
14. april 2008 af sigmund (Slettet)

Korrekt, du må omskrive den ligning, der er opgivet. Afstanden, jeg viser til, er omtalt på http://ga.randers-hf-vuc.dk/matlex/3d.html#planer .

Svar #4
14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Puha det er sgu svært, men tak for den hjælp du har givet. Må sidde mig ned og stirre på det i nogle timer, så plejer det at komme til sidst:)

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. april 2008 af sigmund (Slettet)

Hvad er svært? Er det omskrivningen af ligningen? Du skal tænke i kvadratsætningen (a±b)² = a² + b² ± 2*a*b, og så skulle det være nemt at gætte sig frem til en løsning.

Svar #6
14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Jeg får kuglens ligning til at være:

(x-3)^2+(y+2)^2+(2-5)^2=-22

Kuglens centrum må derfor være: (3,-2,5)

Men så er det her jeg har problemer.....

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. april 2008 af sigmund (Slettet)

For at få (x-3)^2+(y+2)^2+(z-5)^2 på venstre side har du, bevidst eller ubevidst, lagt 9, 4 og 25 til på begge sider. Det har du glemt at anføre på højre side. Højre side er derfor -22+9+4+25 = 16, hvilket betyder at kuglens radius er 4; centrum er (3,-2,5).

Det kan ikke være et problem at finde afstanden fra centrum til planen; det er bare at sætte ind i formlen i det link, jeg viste til tidligere.

Svar #8
14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Gud ja, har sgu da glemt - helt ubevidst - at lægge tallene på den anden side til. Tak...:) Ja, må lige kigge på dit link igen!

Svar #9
14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Skal jeg så også til at skrive P om?

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. april 2008 af sigmund (Slettet)

Nej, P har du givet på normalform (som jeg menere, det kaldes), og du kan aflæse normalvektoren direkte fra ligningen (af oplysninger om planen, behøver du kun normalvektoren for at beregne afstanden mellem punktet og planen).

Svar #11
14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Ej hvordan finder jeg ud af om den vinkelrette afstand fra kuglens centrum til planen er lig kuglens radius???

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. april 2008 af sigmund (Slettet)

#11,

Du beregner afstanden fra planen til punktet via formlen, som jeg viste til tidligere; denne formel giver dig automatisk den vinkelrette afstand. Som jeg har vist dig, så er kuglens radius 4. Hvis afstanden mellem kuglens centrum og planen er 4, så er planen tangentplan til kuglen.

Svar #13
14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Får det til 5.33 i følge dit link!

Brugbart svar (0)

Svar #14
14. april 2008 af allan_sim

#13.
Det lyder rigtigt. Så hvad er konklusionen så?

Svar #15
14. april 2008 af sukkerknald (Slettet)

Så er planen ikke en tangentplan til K.
Underligt. Det plejer det ellers altid at være i sådan nogle opgaver...

Skriv et svar til: En kugle og en plan..

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.