Elasticiteter

Jeg tillader mig lige at opdatere engang, for jeg bliver snart helt væk i alle gymnasieindlæggene.

Desuden opdagede jeg en trykfejl i facit:

El_pf(p)=El_pp^a+El_pp^c*p^bEl_pp^b/(1+p^b)=a+bcp^b/(1+p^b)

Men det er altså stadig mellemregninger, jeg er i tvivl om.

#0/1 i mellemregningerne skal der vel stå El_pp^a+El_uu^cEl_pu hvor u=1+p^b

#2 Det var nemlig det, jeg ikke vidste, om jeg skulle have med. Jeg tillod mig at lave en omskrivning for at forenkle udtrykket, men det skal naturligvis være "lovligt". Så skal det åbenbart gøres helt stringent. 

Kan vi blive enige om:

 Problemet ligger lidt i at få de sidste to regler til at fremstå klart sammen...

#3 jo det kan vi godt ... imho er det bedre at skrive regningen fuldt ud, dvs.

El_pf(p)=El_pp^a+El_uu^cEl_pu hvor u=1+p^b
           =a+cEl_p(1+p^b)=a+(cp^bEl_pp^b)/(1+p^b)=a+bcp^b/(1+p^b)

... men det er nok bare mig ;-)

Nej, nej. Jeg spurgte jo selv. :-) Tror det er fornuftigt at skrive det op, som du har gjort. Så er jeg i hvert fald sikker på, at intet bliver misforstået.

I grunden tænkte jeg over, om der er en bestemt grund til, at man vælger at  substituere g(x) ud med u? Skal man gøre det i beviset, eller er det kun for at lette overskueligheden? 

Umiddelbart ville det jo være lettere, hvis man førte beviset hele vejen igennem med g(x) og så endte op med:

El_xf(g(x))=El_xf(x)El_xg(x)

Så slap man jo af med u, når man brugte sætningen..

#5 ja .. det ser jeg ... sigh jeg bør læse hele teksten før jeg svarer ...

El_xf(g(x))=El_xf(x)El_xg(x) gælder ikke ... det gør din regneregel nummer 2 derimod, dvs.

El_xf(g(x))=El_g(x)f(g(x))El_xg(x)

Sorry. Skrev forkert. 

Bevis:

El_xf(g(x))=x/f(u)[df(u)/dx]=x/f(u)[df(u)/du][du/dx]=u/f(u)[df(u)/du]x/u[du/dx]=El_uf(u)El_xu

Hvilket jo giver sig selv. Men hvorfor kan man ikke bare lade være med at substituere og så få følgende bevis:

El_xf(g(x))=x/f(g(x))[df(g(x))/dx]=x/f(g(x))[df(x)/dx][dg(x)/x]=g(x)/f(g(x))[df(g(x))/dx]x/g(x)[dg(x)/dx]=El_xf(g(x))El_xg(x)

hvor jeg har skrevet alle differentialkvotienterne i [ ], så de er nemmere at få øje på..

#7 din regning [den sidste udregning] gælder ikke ... f(g(x))'=f'(g(x))g'(x) hvor ' er diff mht til x ... skrevet anderledes [men identisk]

df(g(x))/dx=df(u)/du*du/dx hvor u=g(x) ikk

Okay.

df(g(x))/dx=df(u)/du*du/dx hvor u=g(x) ikk

Naturlig forudsætning.

#9 hvorfor det er klart at regningen x/f(g(x))[df(g(x))/dx]=x/f(g(x))[df(x)/dx][dg(x)/dx] i #7 er forkert ;-)

Jeg kunne forestille mig, at det har noget at gøre med, at man ikke kan gøre med en funktion, hvad man kan med en variabel?

#11 da elasticiteten af y mht x er El_xy=x/y*dy/dx minder "mange" regneregler for denne om normal diff. ... der for sammensatte funktioner er df(g(x))/dx=df(u)/du*du/dx hvor u=g(x) og giver El_xf(g(x))=El_uf(u)El_xu, hvor u=g(x)

.............. som alt i alt ikke er noget nyt i forhold til det du allerede kender for gymnasiet :/

Åh, jamen det er skam heller ikke, fordi jeg ikke kan forstå det. Jeg har jo fuldt forelæsningerne igennem hele semesteret, og det her er som ikke noget, der bringer store hovedbrydninger. 

Mit sidste spørgsmål gik egentlig heller ikke så meget på elasticiteten men måske snarere på kædereglen, hvori substitution, som du nævner, også benyttes. 

Helt simpelt hvorfor er det nødvendigt at skrive:

df(g(x))/dx=df(u)/du*du/dx, hvor u=g(x)

Når man i stedet blot kunne have udbyttet alle u'erne med g(x) igennem hele beviset. Hvorfor benytter man overhovedet substitution. Mit spørgsmål var så basalt, jeg overførte det bare på elasticiteten, da det jo lige var det, vi havde gang i. :-)

Hejsa Thomas

Go back to basics :-)
Kig på differentialkvotienten f’(x)=lim (..) ... som jo er akseparallelt defineret. Når man så betragter differentielkvotienten af f(g(..)) er man således nød til at lave substitutionen u=g(x) for at kunne bruge definitionen ikke sandt? Er det nok svar eller vil du have mere uddybning?
 

Du må gerne uddybe det en smule. Det er stadig ikke logisk for mig, hvorfor vi overhovedet udfører substitutionen. Hvad betyder det i øvrigt, at differentialkvotienten er akseparallelt defineret?

#15 akseparallelt def. betyder i denne forbinelse at man danner diif.kv. langs en af akserne (normalt x-aksen) ... du kan også gøre det langs en retningsvektor (som i dette tilfælde kaldes den retningsafledede - som du sikkert kender) ...

Kigger du nærmere på def af diff for R→R så laver du rent faktisk kun diffens/diffentialkvotienter langs akserne og ikke langs en vilk funktion ... der er stor forskel på at regne på lim (..) langs en akse og regne på lim (..) langs en vilk. kurve

... hjalp det? Eller blev det mere sort?

Forudsat at jeg har forstået det rigtigt, når jeg siger, at substitutionen til u gør, at vi regner på lim(..) langs en akse frem for på lim(..) langs en vilkårlig kurve, hvilket vi ville have gjort, hvis vi havde brugt g(x).

Hvis det er korrekt, har jeg forstået, hvad du mener.

#17 jo det lyder rigtigt ... udfra den basale def. af diff. kan du regne langs akser (og faktisk også langs retningsvektorer) men ikke langs vilk. kurver/funktioner ...

Jeg kan godt se, hvad du mener. Det er dog aldrig blevet konkretiseret, som du skriver det der. Men det giver da meget god mening.