Matematik

ligning med kvadratrod

09. april 2005 af axell (Slettet)

Jeg har følgende ligning:

kvadratrod(x+2) -x / kvadratrod(3-x) -1 = kvadratrod(3-x)

Jeg skal finde grundmængden og jeg mener den er G=[-3,oo]

Så er der lige det med at løse den. Alting rykkes over på den ene side af lighedstegnet og rødderne ophæves, men hvad gør jeg med brøken?

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. april 2005 af Duffy

Da man ikke kan tage kvadratrod af negative tal skal grundmgd G være:

G = [-2;3[

(3 ikke med da der ellers kommer nulpkt i nævneren)

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. april 2005 af Duffy

Jeg vil formode at det er denne ligning du ønsker at løse:

(sqrt(x+2)-x) / (sqrt(3-x) -1) = sqrt(3-x)

og ikke denne:

sqrt(x+2)-x / sqrt(3-x) -1 = sqrt(3-x)

...

i så fald er løsningen til

(sqrt(x+2)-x) / (sqrt(3-x) -1) = sqrt(3-x)

x = -1

Duffy

Svar #3
09. april 2005 af axell (Slettet)

Er det tilladt at sætte alle parenteser i ^2 og i så fald skal de sættes sådan

(sqrt(x+2)-x)^2 / (sqrt(3-x)^2 -1) = sqrt(3-x)^2

eller sådan

(sqrt(x+2)-x)^2 / (sqrt(3-x) -1)^2 = sqrt(3-x)^2

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#3: Ud fra indlægget at dømme må jeg antage, at du er enig med Duffy i, at der er tale om ligningen

[sqrt(x+2)-x]/[sqrt(3-x)-1] = sqrt(3-x)

Under denne antagelse gælder nedenstående.

Grundmængden er

G = [-2;2[ u ]2;3]

thi nævneren er nul for x = 2.

Kun dit sidste forslag i #3 er korrekt. Imidlertid er det lettere at regne som følger

[sqrt(x+2)-x]/[sqrt(3-x)-1] = sqrt(3-x) <=>
sqrt(x+2) - x = sqrt(3-x)*[sqrt(3-x)-1] <=>
sqrt(x+2) = x + 3-x - sqrt(3-x) = 3 - sqrt(3-x) <=>
sqrt(x+2) + sqrt(3-x) = 3

Kvadréres begge sider, har vi

5 + 2*sqrt(-x^2 + x + 6)= 9 <=>
-x^2 + x + 6 = 4 <=>
(x+1)*(2-x) = 0 <=> x = {-1,2}

på grund af nulreglen, og x = 2 forkastes (jf. grundmængden), hvorved

x = -1

er eneste løsning.

//Singularity

Svar #5
10. april 2005 af axell (Slettet)

Ifølge min matematikbog har jeg gjort følgende

(sqrt(x+2))^2 = (3-sqrt(3-x)^2)

x+2 = 9-2sqrt(3-x)+3-x

x+2-9-3+x = 2*sqrt(3-x)

(2x-10)^2 = (2*sqrt(3-x)^2

4x^2-40x+100 = 4(3-x)

4x^2-40x+100 = 12-4x

4x^2-36x+88 = 0

dette giver en negativ diskriminant. Hvor ligger fejlen?

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#5: Fejlen bliver begået i starten;

"(sqrt(x+2))^2 = (3-sqrt(3-x)^2)

x+2 = 9 - 2sqrt(3-x) + 3-x"

Venstresiden er korrekt, men du skal kvadrere udtrykket

(3-sqrt(3-x))^2

jf. #4, hvor der står at læse

"sqrt(x+2) + sqrt(3-x) = 3"

I stedet fås

(3-sqrt(3-x))^2 =
9 + 2*3*(-sqrt(3-x)) + 3-x =
9 - 6sqrt(3-x) + 3-x

så

x + 2 = 9 - 6sqrt(3-x) + 3-x

//Singularity

Svar #7
10. april 2005 af axell (Slettet)

Jeg forstår ikke helt hvordan du får

sqrt(x+2) - x = sqrt(3-x)*[sqrt(3-x)-1]

til

sqrt(x+2) = x + 3-x - sqrt(3-x) = 3 - sqrt(3-x)

Hvor bliver -1 af og glemmer du ikke * imellem rodtegnene?

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Nej, jeg glemmer skam ingenting. Vi tager lige udregningerne lidt mere detaljeret;

sqrt(x+2) - x = sqrt(3-x)*[sqrt(3-x)-1] <=>
sqrt(x+2) = x + sqrt(3-x)*[sqrt(3-x)-1] =
x + (sqrt(3-x))^2 - sqrt(3-x) =
x + 3-x - sqrt(3-x) =
3 - sqrt(3-x)

//Singularity

Svar #9
10. april 2005 af axell (Slettet)

For mig at se, så tillader du dig at gange sqrt(3-x) med -1. Gangetegnet forsvinder godt nok ikke af den grund.

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #10
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Hvad i alverden mener du med 'tillader'? Der foregår intet ulovligt i udregningerne - det er ganske enkelt multiplikation af sqrt(3-x) med en parentetiseret toleddet størrelse [sqrt(3-x)-1], dvs. multiplikation med hvert led og bevarelse af fortegn;

sqrt(3-x)*[sqrt(3-x) - 1] =
sqrt(3-x)*sqrt(3-x) - sqrt(3-x)
(sqrt(3-x))^2 - sqrt(3-x) =
3-x - sqrt(3-x)

Tydeligere bliver det vist ikke.

//Singularity

Svar #11
10. april 2005 af axell (Slettet)

toleddet størrelse [sqrt(3-x)-1] =

a^2 + b^2 -2ab

(sqrt(3-x)^2 + (-1)^2 - 2sqrt(3-x) =

3-x + 1 - 2sqrt(3-x)

?

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#11: Nej, du tænker på kvadratet på en toleddet størrelse;

(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab

men det er slet ikke, hvad jeg beregner. Vi har at gøre med multiplikation af sqrt(3-x) med en parentetiseret toleddet størrelse; kort sagt et udtryk på formen

a*(a-b) = a^2 - ab (*)

Ansættes a = sqrt(3-x) og b = 1, fås i henhold til (*), at

sqrt(3-x)*[sqrt(3-x)-1] =
[sqrt(3-x)]^2 - sqrt(3-x) =
3-x - sqrt(3-x)

Jeg benytter ganske enkelt den distributive lov for multiplikation over addition ("man multiplicerer en toleddet størrelse med en faktor ved at multiplicere hvert af leddene med faktoren og addere resultaterne").

Brugen af kantede parenteser burde ikke give anledning til forvirring - tværtimod.

//Singularity

Svar #13
11. april 2005 af axell (Slettet)

sqrt(3-x) * [sqrt(3-x)-1]

(3-x)*(sqrt(3-x)-1) =

3*sqrt(3-x)-3-x*sqrt(3-x)+x

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #14
11. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#13: Har du overhovedet læst #10 og #12? Deri står det tydeligt og helt utvetydigt, at

sqrt(3-x) * [sqrt(3-x)-1] =
3 - x - sqrt(3-x)

og længere er den ikke. Hvad vil du med udregning af

(3-x)*(sqrt(3-x)-1) ?

- det er bestemt ikke det samme som

sqrt(3-x)*(sqrt(3-x)-1)

//Singularity

Svar #15
11. april 2005 af axell (Slettet)

Jeg prøver på at finde ud af, hvordan han kommer fra

sqrt(3-x) * [sqrt(3-x)-1] =

til

3 - x - sqrt(3-x)

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #16
11. april 2005 af michael.padowan.dk (Slettet)

sqrt(3-x) * [sqrt(3-x)-1] =
(sqrt(3-x))^2 -1*sqrt(3-x) =
(3-x)-sqrt(3-x)=3-x-sqrt(3-x)

Svar #17
11. april 2005 af axell (Slettet)

Godt, nu faldt 10-øren. Men når jeg fortsætter ender jeg ikke med x=-1

2-x = 9-6*sqrt(3-x)+3-x

(-10)^2 = (-6*sqrt(3-x)^2

100 = 36(3-x)

100 = 108-36x

36x = 164

x = 4,6

Axell

Brugbart svar (0)

Svar #18
11. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#17: Venstresiden skal ikke være 2-x, men x+2 (jf. #5-6).

Vi har - for nu at følge metoden i #5 - at

x + 2 = 9 - 6sqrt(3-x) + 3-x <=>

2x-10 = -6sqrt(3-x) <=>

(2x-10)^2 = [-6sqrt(3-x)]^2 <=>

4x^2-40x+100 = 36(3-x) = 108-36x <=>

4x^2-40x+100 = 108-36x <=>

4x^2-4x-8 = 0 <=>

4(x^2-x-2) = 0 <=>

4(x+1)(x-2) = 0 <=> x = -1 v x = 2

Herfra er konklusionen nøjagtig den samme som anført i #4.

//Singularity

Svar #19
11. april 2005 af axell (Slettet)

Ok, jeg glemmer altid det tredie led i en toledeet størrelse, doh.

Jeg vidste ikke at man kan løse andengradsligninger uden formlen, men bare faktoriserer.

Nå, men jeg har da vidst langt om længe forstået denne opgave.
I skal have mange tak for jeres hjælp og toldmodighed.

Axell

Skriv et svar til: ligning med kvadratrod

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.