Matematik
Projektion af vektor på vektor
Hej, jeg har et spørgsmål omkring orthonormalisering af et sæt vektorer. Efter hvad jeg har lært, så kan man, givet et hvilket som helst sæt af vektorer, orthormalisere dem ved at gøre følgende:
Vi har som eksempel vektorerne la1> og la2>:
Vi vælger én af vektorerne og dividerer med dens norm, hvorved vi får en enhedsvektor e1:
la1>/ll la1> ll = le1>
Denne enhedsvektor prikker vi nu med a2, hvorved vi får den portion af vektoren la2>, som er langs le1>. Dette trækker vi fra la2> og dividerer med normen af alt dette, altså:
la2> - <e1la2>/(ll la2> - <e1la2> ll)
Dette burde give os 2 orthonormale enhedsvektorer. Er denne fremgang korrekt forstået? I så fald nager det mig lidt, at jeg ikke helt forstår den. Jeg kan godt se det gælder, hvis f.eks. den ene vektor har koordinatsættet (0,7) altså, hvor den ene komposant er 0, for så får man jo en enhedsvektor med koordinater (0,1), og så er det klart, at den fjerner alle vandrette dele af en vektor. Men gælder proceduren også for enhedsvektorer med vilkårlige koordinater?
Svar #1
27. november 2010 af pensionist (Slettet)
Google: Orthonormality
Du skal ikke subtrahere vektorerne
Den orthogonale vektor til (a,b) er (b, - a)
a prik b er ikke en vektor
Svar #2
27. november 2010 af aaaa202 (Slettet)
@ Pensionist: Se lige fra 25:00-28:00 i denne her video, og sig mig om det ikke er rigtigt det jeg har gjort. http://www.youtube.com/watch?v=7Xum9jD_IAI&feature=related
Svar #3
27. november 2010 af pensionist (Slettet)
Jeg forstår ikke helt dit spørgsmål, men har fundet et sted hvor det er forklaret med et taleksempel og en tegning
Svar #4
27. november 2010 af pensionist (Slettet)
En anden måde at forklare det på er : vi skal finde a2's projektion på en linie vinkelret på a1
Svar #5
27. november 2010 af pensionist (Slettet)
la2> - <e1la2>/(ll la2> - <e1la2> ll) skulle være la2> - <e1la2>* |e1> / (ll la2> - <e1la2> ll) ellers er det ikke en vektor
Svar #6
27. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
Hvis der er givet to vektorer a og b, der er lineært uafhængige, opløses vektoren b i to komponenter: en del, der er parallel med a (projektionen af vektor b på a), og så resten, der er ortogonal på a. Projektionen af vektor b på vektor a er
ba = (b•a/|a|) a/|a| ,
og dermed har vi
b = b - (b•a/|a|) a/|a| + (b•a/|a|) a/|a|
Vektoren
b⊥ = b - (b•a/|a|) a/|a|
er ortogonal til vektor a, idet
b⊥•a = b•a - (b•a)(a•a)/|a|2 = b•a - b•a = 0
Hermed er vektor b opløst i to komponenter
b = ba + b⊥
hvor vektoren ba er i det af vektor a udspændte underrum, og vektor b⊥ er ortogonal til dette. De to vektorer ba og b⊥ kan så normeres og derved fungere som basisvektorer.
Svar #8
27. november 2010 af aaaa202 (Slettet)
Undskyld, jeg har vist udtrykt mig alt for uklart, fordi jeg har haft for mange tanker i hovedet, så nu får i mit egentlige spørgsmål mere konkret:
Hvordan kan det være, at hvis man har en enhedsvektor le> og en given vektor la>, at:
<ale> projicerer a ned langs e? For jeg kan godt se det, hvis enhedsvektoren har koordinaterne (1,0) - altså hvor den ene komposant er lig 1, for så får man jo netop projektionen på enhedsvektoren, men når enhedsvektoren bare har tilfældige koordinater, f.eks. (0,3 , 0,5), hvorfor er <ale> så stadig projektionen på le>. Hvordan kan man bevise det?
Svar #9
27. november 2010 af Andersen11 (Slettet)
#8
<a|e> er ikke en vektor, men den med fortegn regnede længde at projektionen af |a> på |e> . Se #6:
ae = (a•e)e , idet |e| = 1
Skriv et svar til: Projektion af vektor på vektor
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.