Raketligning

#0: Jeg kan desværre ikke åbne dit dokument. Kan du skrive dine mellemregninger ind her?

Raketligningen
Raketligningen, er en ligning som kan beregne sluthastigheden på en raket. Grunden til at en raket har sin egen ligning for hastighed, er fordi, at den under sin acceleration mister sin masse, når drivstoffet forbruges, og derved bliver raketten lettere. Nu vil jeg opstille raketligningen.
Vi betragter en raket hvor systemet er isoleret, og derved antages den ydre kraft til at være 0.
Jeg betragter nu 2 nærliggende tidspunkter nemlig t og t+ delta t  . Rakettens hastighed V og masse m, ændres i løbet af tidsrummet delta t  , ændres massen delta m (-delta m for den udstødte masse). Jeg antager at den udstødte masse, udstødes med en konstant hastighed kaldet Vg i forhold til raketten fås en retlinjet bevægelse.

0=(m+Δm)(V+ΔV)+(-Δm)(V+Vg)-mV

Delta V angiver rakettens hastighedsændring.

da jeg ser systemet i et infinitesimalt system, altså hvor delta t er uendelig lille, vil delta m og delta v , være meget lille og derfor bortkaster jeg dem, derved fås produktet.

m * \frac{ΔV}{Δt } - Vg  \frac{Δm}{Δt}=0

 nu lader jeg t gå mod 0

lim m * \frac{ΔV}{Δt } - Vg \frac{Δm}{Δt} = mm * \frac{dV}{dt } - Vg \frac{dm}{dt}

t->0

nu bruger jeg differentiallignings løsningsmetode, separere variabler, til at løse denne, først sortere jeg ledene

\frac{1}{Vg }* \frac{dV}{dt } - \frac{1}{m } \frac{dm}{dt}

Rakettens start og sluthastighed fås ved integration, i og med tiden angives i integralet kan jeg tage dt væk på begge sider .

\int_{v_slut }^{0 } \frac{ 1 }{Vg }dv= \int_{m_slut }^{m_start } \frac{ 1 }{m }dm

<=>

\frac{ 1 }{Vg }V_slut= ln(m_slut) - ln(m_start) =>V_slut=Vg ln\frac{ m_slut }{m_start }

 Håber at du forstår det..

hvorfor kan i du ikke åbne.. kan du ikke åbne Doc filer, kan du åbne andre filer ?

#3: Jeg kan godt læse latex. :)

#4: Det ved jeg ikke - dine formler så helt mærkelige ud, men det kan skyldes, at jeg bruger open office.

Det ser umiddelbart fint ud. Jeg har ikke nærlæst det hele. Hvis jeg dog skal komme med en bemærkning synes jeg, at din første ligning ligesom kommer ud af ingenting; hvis du enten beskriver, hvordan den opstilles eller hvor den hentes fra, ville jeg være glad, men det er trods alt ikke mig, der skal rette din opgave. :)

 ah.. openoffice..jeg bruger normalt ikke latex, men skrev det lige hurtigt, over.. bruger Mathtype..

 men er det rigtigt med seperation af variabler, og at jeg kan fjerne dt, fordi jeg bruger dt..

#6: Det er også et ganske udmærket program - jeg brugte det selv i gymnasiet før jeg lærte latex.

#7: Så du har efter at have taget grænseværdien for delta t gående mod nul (hvormed delta m også går mod nul).

0 = m * dV/dt - Vg dm/dt =>

Vg dm/dt = m dV/dt

dt kan ganges på hver side:

Vg dm = m dV =>

1/m dm = 1/Vg dV og der kan integreres.

Så langt korrekt, men du laver vist noget kludder i starten, hvor du omtaler, at noget er meget småt og derfor vil du smide det væk, men du smider det jo ikke væk, for delta V indgår stadigvæk i din ligning og det samme gør delta m.

 hmm.. nej jeg ved heller ikke hvor jeg har det fra.. Jeg har fjernet dette.. også skulle det være korrekt..
og det første det er jo impulssætningen, som bliver anvendt..

 eller ?

 skal dm i starten fortegn ændres

0=(m+Δm)=> 0=(m-delta m)

 Jeg må da have lave en fejl, hvis delta m bliver 0 med lim t-> 0... så skal der vel stå 0 istedet for dm..

#9: Ja, du har helt ret. Den ligning kommer af impulsbevarelse.

#11+12: Du bør nok lige prøve at kigge på dine beregninger en gang til for at sikre dig, at du har de matematiske argumenter korrekte og præcise. :)

 jeg lavede den lidt om ... kunne du se om det ok ?
Raketligningen, er en ligning som kan beregne sluthastigheden på en raket. Grunden til at en raket har sin egen ligning for hastighed, er fordi, at den under sin acceleration mister sin masse, når drivstoffet forbruges, og derved bliver raketten lettere. Nu vil jeg udlede raketligningen.

Jeg betragter en raket, som er fuldt lastet med brændstof har massen M. Rakettens last af brændstof har massen mb. Når raketten har opbrugt alt sit brændstof er massen af den M-mb. Raketten starter i hvile og til tiden t har den hastigheden V og massen m. Raketten med en hastighed gassen som jeg kalder c, og kaldes udstødningshastigheden. I løbet at kort tidsrum dt, vil den sende dm kg gas bagud, samtid med at hastigheden forøges med v+dv. I det at raketmotoren er et lukket system, er der også impulsbevarelse. Jeg antager at den ikke bliver påvirket af ydre kræfter som luftmodstanden. Når dette er antaget, kan vi danne impulssætningen

(m-dm)(v+dv)+(v+c)dm=mv

jeg bortkaster produkter ad -dmdv, forfi at pproduktet er meget smpt

produktet af impulssætningen er
 

mdv+cdm =0

nu bruger seperation af variabler til at løse de

mdv+cdm =0 => dv=-dm/m=cdln(m)

nu integrer jeg for ''fjerne'' d

∫^v,0 dv= -∫^m-mb,M=cdln(m) = c∫^m,M-mb dln(m)

V_slut=cln(M/M-m_b)