Mat. 10 kl. Grafisk løsning.

Den er faktisk ikke så svær, hvis du sætter dig ind i det. 

Glem det første, gå direkte mod tallene. Katten er 7m fra musen, mussen har 9 m til sit hul. 

Så er vi så langt. nu kommer hastigheden. musen løber med 4m/s derfor langsomere end katten som løber 7m/s

altså vil katten inden for et sekund indhendte musen hvis den stod stille. Men musen løber. 

Hvad tænker du der vil ske ?

Illustration:

Kat - - - - - - - mus - - - - - - - - - hul

(hver streg repræsenterer en meter - der er 7meter mellem kat og mus og 9 meter mellem mus og hul)

Se det som et væddeløb, hvor startlinjen er musens placering, og målet er hullet. Katten er altså bare lidt bagud i forhold til musen, når starten går, og det, vi skal regne ud, er, om det tager kortere tid for musen af bevæge sig de 9m i mål, end det tager for katten at bevæge sig de 9+7m i mål. Det kan altså løses ved at udregne den tid, det tager.

Den helt generelle formel for hastighed og sted er:

S = v * t

hvor S er stedet, med andre ord afstanden, der er opnået, v er hastigheden, og t er tiden. Og hvis man ikke starter på stedet nul (altså hvis du ikke starter på startlinjen), så tillægger man bare en ekstra startafstand S₀:

S = v * t + S₀

Du kan altså opstille en formel for katten og en for musen:

S_mus = v_mus * t_mus + S_0mus

S_kat = v_kat * t_kat + S_0kat

Her kender du alt pånær tiden! Startafstanden og farten har du nemlig givet. S, som angiver, hvor langt de er nået til tiden t, sætter du bare til afstanden til hullet, så vi finder tiden, det tager dem, at nå hullet:

9m = 4m/s * t_mus + 0

9m = 7m/s * t_kat + 7m

Er du enig? Så finder man blot tiderne og sammenligner dem. Hvis katten nåede hullet før musen, så har den dermed passeret musen undervejs og kunne derved have fanget musen før hullet.

Hvis du beskriver katten ved

k(t)=7t-(7+9) <=> k(t)=7t-16,

hvor k(t) er meter til hullet og t er tid.

Da kan du også beskrive musen ved

m(t)=4t-9,

hvor m(t) er meter til hullet og t er tiden.

Disse kan indtegnes, og du kan da få t ved at finde skæringspunktet.

Det kan også udregnes analytisk, idet

k(t)=m(t)

7t-16=4t-9 

3t=7

t=7/3,

der svarer til 2.33 sekunder, vil det tage katten at indhente musen.

Men vi ser, at det tager musen

0=4t-9 <=> 4t=9 <=> t=9/4=2.25 sek. at nå hullet, så den når det. :-)

#3 Jeg er enig for så vidt, at katten er bagud med 7 meter og ikke foran...

Lad den ikke-negative y-akse repræsentere afstanden i meter fra dét sted, musen er i hvile (0 , 0), og den ikke-negative x-akse, som tidsakse i sekunder.

Musens afstand fra (0 ; 0) til enhver tid må være    y  =  4x

Kattens afstand fra (0 ; 0) til enhver tid må være    y  =  - 7x + 7

Mus og kat mødes til tiden   4x   =  - 7x + 7  ⇒   x  =  ⁷/₁₁  sek.

Musen indhentes da af katten, da musen kun har nået at løbe  2 ⁶/₁₁ meter fra dens udgangspunkt (0 ; 0) .

Indtegn derfor de to linjer med nævnte forskrifter.

Vi ved ikke, i hvilke(n) retning(er) musen og katten løber.

Katten skal indhente musens forspring på 7m med den relative hastighed (7-4)m/s = 3m/s, og det tager tiden

t = 7m/(3m/s) = (7/3)s = (2 1/3)s

Musen skal imidlertid blot løbe distancen 9m med farten 4m/s for at komme i sikkerhed , hvilket tager tiden

T = 9m/(4m/s) = (9/4)s = (2 1/4)s < t

hvorfor det ses, at musen kommer i sikkerhed, før katten kan nå den.