Matematik A, HTX: Differentialligninger

Hej kloge hoveder (og alle I andre)!

Min ondsindede matematiklærer har besluttet sig for, at vi skal udarbede et skriftligt projekt i differentialligninger (hvilket er lidt absurd, da vi ikke kan komme op i differentialligninger til skriftlig eksamen). Jeg har lige læse hele kapitlet i bogen (MAT A HTX, Klaus Marthinus) igennem igen, og jeg forstår stadig intet af emnet. Opgaverne er som følger:

Et lod ophængt i en fjeder er påvirket af tyngdekraften og fjederkraften. Tyngdekraften F_t=m·g og fjederkraften F_f=-k·x. Her er m loddets masse, g tyngdeaccelerationen, k fjederkonstanten og x forlængelsen af fjederen fra ligevægtsstillingen. Ifølge Newtons 2 lov er den resulterende kraft F_res=m·a. Her er a accelerationen i bevægelsen.

1) Opskriv differentialligningen for situationen symbolsk ved at benytte at a=(d^2 x)/(dt^2 ). Her er t tiden.
2) Løs differentialligningen ved at antage passende begyndelsesværdi betingelser. Herunder antages at m=1 kg,g=9,82N/kg,k=10N/m.
3) Beskriv bevægelsen af systemet og bestem svingningstiden for systemet.
4) Hvilken betydning har m og k for bevægelsen? Prøv at ændre på m og k hver for sig og beskriv betydningen.

I et realistisk fjedersystem vil der være dæmpning. Indfør denne i din differentialligning ved at benytte F_d= ?-k?_d·v. Her er k_d dæmpningskonstanten og v er hastigheden i bevægelsen.

5) Opskriv på ny differentialligningen for situationen ved at benytte at v=dx/dt.
6) Løs differentialligningen ved at antage at k_d=0,1 kg/s.
7) Beskriv bevægelsen af systemet, bestem svingningstiden og sammenlign med ovenfor.
8) Hvilken betydning har k_d for bevægelsen? Prøv at ændre k_d og beskriv hvordan løsningen ændrer sig.

Hvis fjedersystemet udsættes for en periodisk kraft F_p=A·cos?(2·p·f·t) vil bevægelsen af systemet påvirkes af dette. Her er A kraftens amplitude og f er frekvensen for den periodiske kraft.

9) Opskriv differentialligningen for situationen.
10) Løs differentialligningen ved at antage at A=5 N,f=5 Hz og at både start hastigheden og positionen for svingningen er 0.
11) Beskriv bevægelsen af systemet.
12) Prøv at ændre frekvensen for den periodiske kraft og lad den nærme sig egenfrekvensen for systemet. Beskriv hvad der sker.

Jeg har absolut INGEN idé om, hvordan jeg skal løse nogen af opgaverne, så enhver hjælp vil blive værdsat!

Mange tak.

Krainert