Matematik

3.gradsligning

18. januar 2005 af Sampairo (Slettet)

Hvordan løser man en 3.gradsligning, hvis ikke det skal være på grafregneren?

Findes der en generel løsningsmodel?

f.eks. bestem samtlige løsninger til f'(x)= 0, når f(x) =2x^6-4x^2-6x.

på grafregneren kan man bestemme nul-punkterne til
x=-1
x=0
x=3

Jeg mangler en løsningsmodel?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. januar 2005 af Duffy

Generel løsning:

x^3 + a x^2 + b x + c = 0

Substituér
x = z - a/3
givet ved
p = -a^2 / 3 + b
q = 2 a^3 / 27 - a b / 3 + c
standard formen:
z^3 + p z + q = 0

Udregn diskriminanten:
D = (q/2)^2 + (p/3)^3

1) hvis D
udregn t så
cos(t) = q/2 / sqrt( -(p/3)^3 )
udregn
z1 = -2 sqrt( -p/3 ) cos( t/3 )
z2 = -2 sqrt( -p/3 ) cos( 2/3 pi + t/3 )
z3 = -2 sqrt( -p/3 ) cos( 2/3 pi - t/3 )

2) hvis D = 0 (special-tilfælde af det næste)
udregn
z1 = -2 (q/2)^(1/3)
z2 = z3 = (q/2)^(1/3)

3) hvis D == 0
udregn
u = ( -q/2 + sqrt(D) )^(1/3)
v = ( -q/2 - sqrt(D) )^(1/3)
udregn
z1 = u + v
z2 = - (u+v)/2 + (u-v)/2 sqrt(3) i
z2 = - (u+v)/2 - (u-v)/2 sqrt(3) i

substituér til sidst:
x1 = z1 - a/3
x2 = z1 - a/3
x3 = z1 - a/3
======================================

For eksempel,

-r^3 + 3 r + 2 = 0

gå så dirkete til standard formen:

z^3 - 3 z - 2 = 0 så p = -3 og q = -2

diskriminanten

D = 1 - 1 = 0
D = 0
z1 = -2 (-1)^(1/3) = 2
z2 = z3 = (-1)^(1/3) = -1

Der er 2 løsn.: -1 and 2

Duffy :D

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. januar 2005 af fister (Slettet)

f(x)=2x^6-4x^2-6x er et 6'te gradspolynomium.
Er du sikker på at ligningen er som du skriver? For de nulpunkter du skriver, passer ikke ind i f'(x).

Svar #3
18. januar 2005 af Sampairo (Slettet)

ups du har ret, det er selvfølgelig
f(x)=2x^3-4x^2-6.

Det er jeg ked af..

Svar #4
18. januar 2005 af Sampairo (Slettet)

I behøver ikke, at tage jer tid til at vise mig det...jeg benytter bare grafregneren.

Undskylder endnu engang.

Men jeg kan jo forsøge at kigge eksemplet igennem.

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#3,4: Jamen, hvis funktionen

f(x) = 2x^3 - 4x^2 - 6

er givet, og du skal bestemme samtlige løsninger til

f'(x) = 0 (jf. indlægget)

så kommer du da til at operere med en andengradsligning i x, IKKE en trediegradsligning. Du skal differentiere f først, så f' bliver et andengradspolynomium i x.

//Singularity

Svar #6
19. januar 2005 af Sampairo (Slettet)

så opgave går egentlig bare ud på at differentiere f, hvorefter jeg så kan beregne nul-punkterne som et andengradspolynomium.

altså

x=1,33 og x=0

Svar #7
19. januar 2005 af Sampairo (Slettet)

er det helt forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. januar 2005 af frodo (Slettet)

du skal finde nulpunkterne for den afledede, så ja, differentier f, og løs denne som en andengradsligning

Svar #9
19. januar 2005 af Sampairo (Slettet)

I mener:

f(x) = 2x^3 - 4x^2 - 6
f'(x)=6x^2-8x
herved er det blevet til et andengradspolynoium, hvoraf der højest er 2 løsninger.

d = 64

x1= 1,33
x2= 0

er det ikke rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #10
19. januar 2005 af frodo (Slettet)

jep..

Svar #11
19. januar 2005 af Sampairo (Slettet)

Mange tak for hjælpen.

I mener at når jeg får en opgave som denne:

bestem samtlige løsninger til f'(x)= 0, når f(x) =2x^6-4x^2-6x.

så skal jeg differentier ned til et andengradspolynomium, hvorefter jeg så skal finde samtlige løsninger.

Brugbart svar (0)

Svar #12
19. januar 2005 af frodo (Slettet)

hvis du kigger på hvad der står, så skal du løse ligningen f'(x)=0, og hvad er f'(x)? Ja, det er jo den afledede af f(x), så selvfølgelig skal du differentiere f(x), når du skal finde den aflededes nulpunkter

Svar #13
19. januar 2005 af Sampairo (Slettet)

Det var en stor hjælp, nu ved jeg hvordan jeg skal bære mig ad når jeg får en opgave af denne type.

Brugbart svar (0)

Svar #14
19. januar 2005 af Epsilon (Slettet)

#11: Nej! Hvis du arbejder med SJETTEgradspolynmomiet

p(x) = 2x^6 - 4x^2 - 6x

så er den afledede, p' et FEMTEgradspolynomium;

p'(x) = 12x^5 - 8x - 6

Men i #3 skriver du, at funktionen f er givet ved

f(x) = 2x^3 - 4x^2 - 6

altså et TREDIEgradspolynomium, og da bliver f' et ANDENgradspolynomium.

Altså - givet et polynomium af grad n (n E N), så er den afledede et polynomium af grad n-1.

//Singularity

Skriv et svar til: 3.gradsligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.