Matematik

Polynomiers division teori

21. september 2014 af knudsjoe (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej allesammen.

Jeg har fået stillet en opgave hvor jeg først skal udregne kvotient og rest i to tilfælde:

(x^2+2x+1) / (x -1) og (x^2+x-2) /(x-1)

Jeg har divideret dem, men har nogle spørgsmål der driller.

1) Overvej, hvorfor man altid ende med en rest som er en konstant, der evt. kan være 0?

2) Man kan skrive et vilkårligt polynomie således: p(x)=(x-r)* q(x) +k . Hvis r er en rod i p(x), hvad er så værdien af k?

3) Hvis k er lig 0, hvad må r være for p(x)?

4) hvordan skal r væles, for at divisionen går op?

Håber i kan hjælpe!

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. september 2014 af mathon

Omskriv:
$x^2+2x+1=\left ((x-1)+2 \right )^2=(x-1)^2+4(x-1)+4)$

og
$\! \! \! \! \! \! \frac{x^2+2x+1}{(x-1)}=\frac{(x-1)^2+4(x-1)+4}{(x-1)}=(x-1+4)+\frac{4}{x-1}=(x+3)+\frac{{\color{Red} \mathbf4}}{x-1}$

eller skrevet
$(x+3) \; \; rest\; 4$

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. september 2014 af mathon

2)
$p(x)=(x-r) \cdot q(x) + k$

Hvis r er en rod i p(x), så er k = 0

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. september 2014 af LeonhardEuler

Det må være en misforståelse. Man ender ikke altid ud med en konstant

Et polynonium r(x) kaldes resten af en polynonium p(x) ved division med d(x)

p(x) = d(x)•q(x) + r(x)

Hvis r er rod i p(x) ∨ (x - r) = d(x) l p(x) så er resten r(x) = 0 dvs. resten er konstant (der følger en biimplikation, således at det også går den anden vej.

p(x) = (x - r)•q(x) + 0

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. september 2014 af mathon

3)
Hvis k er lig med 0, må r være rod i p(x).

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. september 2014 af mathon

4)
r skal vælges, så (x-r) er divisor i p(x).

Svar #6
21. september 2014 af knudsjoe (Slettet)

Årh tak! kæmpe hjælp! kan i evt uddybe nummer 2 og 3, så jeg kan forklare det? :-D

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. september 2014 af mathon

Når en division "går op" er der 0 til rest
eks.

12/4 = 3 rest 0

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. september 2014 af LeonhardEuler

du har netop, at division med polynomiuer kan opskrives på formen p(x) = (x - r)•q(x) + r(x)

du ved, at hvis (x - r) skal gå op i p(x), skal r være rod i p(x), hvorfor p(r) = (r - r)•q(x) + r(x) = 0

hvis (x - r) går op i p(x) må der eksistere en polynonium q(x), således (x - r) l p(x) ⇒ (x - r) • q(x) = p(x)

heraf ses at vi ingen restled har.

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. september 2014 af LeonhardEuler

Hvis r er rod i p(x) vil restledet være lig med 0 og hvis restledet er lig med 0, så må r nødvendigvis være rod i p(x)

Svar #10
21. september 2014 af knudsjoe (Slettet)

men hvis r skal vælges, så (x-r) er divisor i p(x). kan jeg så være sikker på at divisonen går op?

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. september 2014 af LeonhardEuler

#10

Ja, selvfølgelig.

Skriv et svar til: Polynomiers division teori

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.