Matematik

Implicit funktion og Chebyshev-polynomier

14. oktober 2018 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Spg1) Hvordan finder man nedenstående implicitte funktion ud fra Chebyshev-polynomier?

$ax^{2}+bx+cy^{2}+dy+exy+f=0$

Husk nu på at det ikke er koefficienterne a, b, c, d, e og f, som jeg er interesseret i at finde, men derimod den implicitte funktion. Jeg ved nemlig godt hvordan man finder koefficienterne a....f ved hjælp af lineær algebra.

Spg2) Findes der evt. andre metoder til at finde implicitte funktioner end brugen af Chebyshev-polynomier?

Ja eller Nej

Spg3) Såfremt et Ja, hvad hedder disse metoder da?

Spg4) Hvordan finder man phase-anglen ud fra ovenforstående implicitte funktion? Bruger man følgende formel eller hvad?

$\varphi =2*sin^{-1}\left ( \frac{\left | a \right |}{2*\sqrt{2}} \right )$

Denne formel forudsætter selvfølgelig at man har bestem koefficienterne a....f ved hjælp af lineær algebra. Men som sagt så er det ikke noget problem.

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. oktober 2018 af peter lind

Chebychev polynomier er ortogonale idet der for chebychev polynomerne Tr(x) og Ts(x) gælder

$\int Tr(x)\cdot Ts(x)/\sqrt{1-x^{2}}dx = 0$

for r≠s,Grænsene er -1 og 1

For r=s = 0 er den π og for r=s≠0 er den π

Du kan deraf finde koefficenterne for chebyshevpolynomierne

Svar #2
14. oktober 2018 af Yipikaye

Hvad er Tr(x) og Ts(x)?

Og som sagt så er det ikke koefficienterne i den implicitte funktion som jeg er interesseret i at finde, men derimod selve strukturen af den implicitte funktion.

Svar #3
14. oktober 2018 af Yipikaye

Jeg har fundet en videnskabelig artikel der hedder "Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials" af Julio Castineira Merino.

I den artikel viser Merino teorien bag brugen af Chebyshev polynomier til at finde implicitte funktioner for Lissajous-figurer.

Han viser bl.a en række Chebyshev polynomier og forklare hvorledes man finder dem ud fra nedenstående formel. Selve denne formel forstår jeg godt.

$T_{n+1}(x)=2x*T_{n}(x)-T_{n-1}(x)$

Men under et teoriafsnit kaldet "Theorem" forhåndsgiver han 2 ligninger. Se nedenunder.

$x=cos(mt+p)$

$y=sin(nt+q)$

Han skriver derefter følgende

$0\leq t\leq 2\pi$ , where p, q are real numbers and m, n integers prime to each other. Let

$\delta =\begin{vmatrix} m& p\\ n &q \end{vmatrix}$

Hvad er $\delta$ ? Er det determinanten eller hvad?

Derefter skriver han .

Then the equation of the curve is

$T_{n}(x)^{2}+T_{m}(y)^{2}-2*(-1)^{\frac{m}{2}}T_{n}(x)T_{m}(y)cos(\delta)-sin^{2}(\delta )=0$

if m is even and sin $\delta$ is different from 0,

$cos(\delta)T_{n}(x)-(-1)^{\frac{m}{2}}T_{m}(y)=0$

if m is even and sin $\delta$ = 0

$T_{n}(x)^{2}+T_{m}(y)^{2}-2*(-1)^{\frac{(m-1)}{2}}T_{n}(x)T_{m}(y)sin\delta -cos^{2}\delta=0$

if m is odd and cos $\delta$ is different from 0

$sin\delta T_{n}(x)-(-1)^{\frac{(m-1)}{2}}T_{m}(y)=0$

if m is odd and cos $\delta$ = 0

Jeg ved ikke om det ville være for meget at forlange hvis der evt. var en person herinde der ville prøve at regne et eksempel på ovenstående igennem.

Skriv et svar til: Implicit funktion og Chebyshev-polynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.