Matematik

Differentialkvotient

23. marts 2019 af MariaBz - Niveau: B-niveau

Er der en der kan give mig et pædagogisk svar på dette?

Vedhæftet fil: grænseværdi.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. marts 2019 af jnl123

Kort sagt: Det er fordi man ikke kan dividere med 0.

I stedet kan man lade "x gå mod x0" så nævneren ikke er lig med 0 men meget tæt på 0.

Svar #2
23. marts 2019 af MariaBz

Betyder græseværdien lim(x->0) så at man på x aksen skal så tæt på 0 som muligt uden at ramme 0?

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. marts 2019 af jnl123

ikke helt

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. marts 2019 af jnl123

Man kan vælge hvilket som helst punkt på x-aksen. F.eks. x0=5. Hvis man gerne vil udregne hvor meget funktionen f stiger på y-aksen når x0=5 på x-aksen, så kan man bruge differentialkvotienten f'(5)

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. marts 2019 af jnl123

Men du har ret i (fra #2) at nævneren i den vedhæftede formel (som er lig med: x-x0) skal så tæt på 0 som muligt uden at ramme nul. Men x0 kan være forskellige tal.

Brugbart svar (1)

Svar #6
24. marts 2019 af Capion1

# 0 kan også være på formen:

$\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\rightarrow f'(x_{0})\: \: for\: \: h\rightarrow 0$
Her genkender man formlen for en ret linjes hældningskoefficient.
En kurvetangent i x = x₀ har hældningskoefficienten f '(x₀) , hvis grænseværdien eksisterer.
Læs om tretrinsreglen for udledning af differentialkvotient. Her er det klart, hvad det er, man udregner.

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. marts 2019 af Capion1

Grænseværdi er det, der sikkert volder flest vanskeligheder at forstå. Det er abstrakt og meget teoretisk.
Læseplanerne for matematik i gymnasiet har undergået forandringer, og der læses ikke til bunds i visse
discipliner. Kontinuitet, Grænseværdi, Differential- og Integralregning blev førhen bygget systematisk op fra bunden af. Man kunne ikke spise censor, ved eksamen, af ved at sige, at kontinuitet er, når man ikke løfter blyanten. Indgangen til videregående studium i faget er mangelfuld og mange gange overfladisk, da begrebsdannelser simpelthen ikke er en del af gymnasiestof.

Svar #8
24. marts 2019 af MariaBz

Jeg tror ikke helt jeg forstår. Hvordan kan jeg selv vælge hvad der er 0, og stadig komme så tæt på 0 som muligt?

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. marts 2019 af mathon

Din formulering i #8 er misforstået og derfor uforståelig.
Tegn en skitse af en kontinuert funktionsgraf.
Vælg på denne et vilkårligt fikspunkt $P_o(x_o,f(x_o))$ .
Vælg vilkårligt et andet variabelt punkt på grafen $P(x,f(x))$ .
Tegn linjen (sekanten) gennem de to punkter.
Sekantens hældningskoefficient/differenskvotient

$\small a_h=\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$

Vælges efterhånden variable punkter P tættere og tættere på P_o, nærmer sekanten sig mere og mere til sekantens grænselinje, som er tangeten i punktet P_o.

Samtidig nærmer differenskvotienten

$\small a_h=\frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$ sig tangentens hældningskoefficient, som kaldes $\small f{\, }'(x_o)$ .

Altså har du

$\small f{\, }'(x_o)=\underset{x \to x_o}{ \lim} \frac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$ .

$\small \textup{Sekantens differenskvotient n\ae ærmer sig ubegr\ae ænset t\ae t til tangentens h\ae ldningskoefficient,}$
$\small \textup{ som kaldes funktionens differentialkvotient }f{\, }'(x_o).$

Nogle matematikbøger bruger

$\small \small h=x-x_o\Leftrightarrow x=x_o+h$
og dermed

$\small f{\, }'(x_o)=\underset{h \to x_o}{ \lim} \frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}$ .

Brugbart svar (0)

Svar #10
24. marts 2019 af mathon

rettelse:

og dermed

$\small \small f{\, }'(x_o)=\underset{h \to 0}{ \lim} \frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}$

Svar #11
24. marts 2019 af MariaBz

Vil det så sige at afstanden på x aksen mellem de to punkter man vælger for at udføre ligningen er tæt på 0?

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. marts 2019 af mathon

Afstanden både på x-aksen og y-aksen mellem de to punkter, man vælger på grafen går mod 0, sekanten går mod tangenten.

Skriv et svar til: Differentialkvotient

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.