Kernel F.unktion.er

Vanskeligt at hjælpe når man ikke ved hvilke egenskaber ved kerner, du kender til. Kan vi gå ud fra, at du ved at for 2 kerner k1, k2 og funktionen f:X->R gælder

a) k(x,z) = ak1(x,z) + bk2(x,z),  a,b >= 0
b) k(x,z) = k1(x,z)k2(x,z)
c) k(x,z) = f(x)f(z)

alle er kerner?

Hvis ja, så har vi også:

d) k(x,z) = g(k1(x,z)) hvor g er et polynomie med positive, reelle koefficienter, er en kerne. Det følger af a og b.

e) k(x,z) = exp(K(x,z)) (hvor K er en kerne), er en kerne. Det følger af at exp(x) = lim(i->infty)(1+...+x^i/i!) og d samt at k(x,z) = lim(i->infty)k_i(x,z)

Første spørgsmål kan nu besvares ved som feature map at anvende afbildningen x -> f(x) hvilket sammen med c viser at f(x)f(z) er en gyldig kerne, derefter følger af b at f(x)f(z)k1(x,z) ligeså er gyldig.

Sidste spørgsmål kan besvares udfra omskrivningen ||x - z||^2 = -||x||^2 - ||z||^2 + 2x^Tz  (x^T er x transponeret). Indsæt dette i eksponentialfunktionen og spalt den derefter i et produkt af 3 eksponentialfunktioner:

exp(-gamma||x||^2)exp(-gamma||z||^2)exp(2gammax^Tz) = h(x)h(z)exp(k1(x,z))

h(x)h(z) er en kerne jvf c og exp(k1(x,z)) en kerne jvf e. Ifølge b er produktet af 2 kerner en kerne.
 

Tak for svaret

Har lige forstået 1.2 men har ikke forstået 1.1

Er du venlig til at skrive lidt mere forklaringer på , altså og lidt mere klar da jeg kan ikke forstå

Jeg ser frem at høre fra dig