Matematik

Linje vektor og parameterfremstilling

07. december 2020 af Ladora (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej, har denne opgave, men kan ikke finde ud af den... kan nogen hjælpe?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-12-07 kl. 09.33.04.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. december 2020 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. december 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llll} \end{array}$ $\small \small \small \begin{array}{llll}a)\\& \begin{array}{llll} l\textup{ g\aa r f.eks. gennem:}&Q(0,-9)\\\\ l\textup{ har retningsvektor:}&\overrightarrow{r}=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\5 \end{smallmatrix}\bigr)\\\\ \textup{N\aa r }P(x,y)\textup{ er et}&\textup{vilk\aa rligt punkt p\aa \ }l\\ \textup{kan }l\textup{'s punkter}\\ \textup{beskrives:}\\& l\textup{:}\quad \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+t\cdot \overrightarrow{r }\qquad t\in \mathbb{R} \end{array} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
07. december 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llll} \end{array}$ $\small \small \begin{array}{llll}b)\\& \begin{array}{llll} \textup{N\aa r }P(x,y)\textup{ er et}&\textup{vilk\aa rligt punkt p\aa \ }l\\ \textup{kan }l\textup{'s punkter}\\ \textup{beskrives:}\\& l\textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\; ? \end{array} \end{array}$

Svar #4
07. december 2020 af Ladora (Slettet)

Jeg kan stadig ikke helt gennemskue det, og hvorfor har linje l retningsvektoren r^-> (1, 5)

Brugbart svar (1)

Svar #5
07. december 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llll} \end{array}$ $\small \small \small \begin{array}{llll}b)\\& \begin{array}{llll} \textup{N\aa r }P(x,y)\textup{ er et}\quad \textup{vilk\aa rligt punkt p\aa \ }l\\ \textup{kan }l\textup{'s punkter}\\ \textup{bestemmes ved parameterfremstillingen:}\\& l\textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\-9 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\5 \end{pmatrix} \end{array} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
07. december 2020 af ringstedLC

#4
Jeg kan stadig ikke helt gennemskue det, og hvorfor har linje l retningsvektoren r^-> (1, 5)

Tænk på hældningskvotienten; "én hen og a op", det er jo en vektor, der flugter med linjen, altså en retningsvektor.

Brugbart svar (1)

Svar #7
07. december 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{For enhver skr\aa \ ret}\\ \textup{linje med ligningen:}&f(x)=ax+b\\ \textup{g\ae lder:}\\&f(x+1)=a\cdot (x+1)+b=ax+b+a=f(x)+a\\\\ \textup{En x-for\o gelse p\aa \ }1&\textup{giver altid en y-for\o gelse p\aa \ }a\\ \textup{dvs}\\ \textup{Enhver ret linje med}&\textup{ligningen }\quad f(x)=ax+b\\ \textup{har }\\ \textup{retningsvektoren}&\overrightarrow{r}=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\a \end{smallmatrix}\bigr) \end{array}$

Svar #8
07. december 2020 af Ladora (Slettet)

Tak mathon, det eneste jeg ikke helt forstår er a), da jeg ikke kan finde frem til hvorfor retningsvektoren netop er (1 ,5), og kan der argumenteres for, at linjen l går genem (0,9)?

Svar #9
07. december 2020 af Ladora (Slettet)

Tak!

Brugbart svar (1)

Svar #10
07. december 2020 af ringstedLC

#8
og kan der argumenteres for, at linjen l går genem (0,9)?

ikke (0,9), men da (0,-9) opfylder ligningen:

$\begin{align*} y &=5x-9 \\ -9 &=5\cdot 0-9 \end{align*}$

går l gennem (0,-9).

Vedhæftet fil:__0.png

Brugbart svar (1)

Svar #11
09. december 2020 af mathon

alternativt:
Tegnes den retvinklede trekant med vandret katete 1 og lodret katete a
har du for hypotenusen, som er retningsvektor:

$\small \begin{array}{lllll}& \overrightarrow{r}_1=\begin{pmatrix} \cos(v_{retning})\\ \sin(v_{retning}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\\ \frac{a}{\sqrt{1+a^2}} \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\cdot \begin{pmatrix} 1\\a \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\cdot \overrightarrow{r}\\ \textup{hvor}\\& \overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} 1\\a \end{pmatrix}\qquad \textup{er den nemmeste retningsvektor at anvende.} \end{array}$

Skriv et svar til: Linje vektor og parameterfremstilling

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.