Differentialregning

Hej,

Det virker til, at du har god kendskab til tingene og en god forståelse for hvad du skal i opgaven :)

Figuren viser grafen for den afledede fkt. f '. Når du skal løse ligningen for f '(x) = 0, aflæser du hvor y-værdien til grafen for den afledede fkt. er nul. Vi finder derfor x-koordinaten til grafens skæring med x-aksen.

f '(x) = 0 ⇔ x = 3 (ved aflæsning på grafen for den afledede funktion til f).

Det er helt rigtigt, at f '(x) = 0 angiver de steder, hvor grafen for f har vandrette tangenter. Grafen for f vil altså have en vandret tangent(ekstremumspunkt) i x = 3. 

Vi kan bestemme monotoniforholdende for f, ved at kigge på fortegnet for f '. (Idet grafen for f ' angiver hældningen på grafen for f i ethvert punkt).

Ved at kigge på grafen for f ' kan vi se, at

f '(x) < 0, ∀ x ∈ ]-2,3], dvs. at grafen for f er aftagende i intervallet fra ]-2,3]. (f '(x) < 0, da grafen for f ' ligger under x-aksen).

f '(x) > 0, ∀ x ∈ [3,4[, dvs. at grafen for f er voksende i intervallet fra [3,4[.

Yes det giver sindsyg god mening. Jeg tænkte nok, at definitionsmængden var den tråd jeg skulle bruge for så, at kunne anvende monotonisætningerne til at finde monotoniforholdet. Tusind tak for at clear det for mig:)

Jeg vil dog gerne spørge indtil i forhold til at bestemme en tangentligning i opgave 2 b), da jeg får af vide at, grafen for f går gennem punktet P(2,3). Her ved jeg så at f(3)=2 og jeg har en ide om at man anvender formlen for tangentligning: y=f(x0)*(x-x0)*f'(x0)

Jeg ved dog ikke helt hvordan jeg opstiller det, da jeg udefra min givende data vil få et udtryk således:

3=2*(x-2)*f'(2)

Jeg har en ide om, at tangentligningen så vil være y=2x-2, da den afledte funktion til f'(2) d.v.s min tangenthældning er 2. Jeg vil bare spørge jer om det er korrekt løst :)

Selv tak, godt at høre! 

Tæt på:)) Ligningen for tangenten i punktet (2,3) bestemmes ud fra tangentens ligning som du skriver (det er plus f(x₀)).

y = f(x₀) + f '(x₀)·(x-x₀)

x₀ = 2 og f(x₀) = 3 

f '(x₀) = f '(2) = -1 (Aflæses af y-værdien til x = 2 på grafen for den afledede funktion f ').

Tallene indsættes i tangentligningen 

y = f(x₀) + f '(x₀)·(x-x₀)

   = 3 -1·(x-2) = 3 -x + 2 = -x + 5

Dvs. 

y = -x + 5,

hvor y angiver en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P = (2,3) :)

Nå ja det giver egentlig ret god mening. Dum fejl med at gange istedet for at plus

Men i opgave 1 a) skal jeg også bestemme en ligning til tangent for f i punktet P(e,f(e)

Her har jeg fået differenteret funktionen:

f(x)= x*ln(x) 

f'(x)=1+ln(x) via produktregel.

Ved dog ikke hvordan jeg finder tangentligningen, da jeg ikke forstår hvad e skal betyde. Kan du hjælpe?

Hej igen

Funktionen er helt rigtigt differentieret.

e er Eulers tal (e ≈ 2,71828).

Vi bestemmer først f '(e).

f '(e) = 1 + ln(e) = 1 + 1 = 2 (idet ln(e) = 1)

f(e) = e·ln(e) = e

Dvs. 

x₀ = e, f(x₀) = e og f '(x₀) = f '(e) = 2

Vi indsætter tallene i tangentligningen 

y = f(x₀) + f '(x₀)·(x-x₀)

   = e + 2(x-e) = 2x - e

Dvs.

y = 2x - e

Det er seriøst virkelig gode beregninger og superforståelig. Jeg blev kun forvirret af eulers tal, men det har du virkelig forklaret godt for mig. Resten af vejen kunne jeg meget nemt forstå tusind tak. 

Alternativt

Du kan også bestemme en ligning for tangenten til en graf i et punkt uden at bruge tangentligningen, hvis du synes det er nemmere.

Vi ved at tangenten er en ret linje, dvs at tangenten angiver en ligning på formen 

y = ax + b

Idet f '(x₀) angiver hældningen på tangenten i punktet(f ' i et punkt kaldes differentialkvotienten) er 

a = f '(x₀) = f '(e) = 2

Dvs.

y = 2x + b

Hernæst indsættes punktet P = (e,f(e)) i ligningen, for hvilket b bestemmes

e = 2·e + b ⇔

b = -e

Dvs.

y = 2x - e

Glad for at høre det giver mening:)) 

PS. rettelse: Kunne se jeg glemte at lægge e til i #6. Ligningen for tangenten er derfor y = 2x - e. Ikke 2x - 2e, som jeg først skrev..

I forhold til svar#8 kender jeg godt denne metode med at isolere b og ikke anvende tangentligning, men det jo kun behageligt, at have flere løsninger til en opgave, når man en dag sidder til skriftlig eksamen i mat :)

Yeahh

Og ja, det er vel kun en fordel at have flere måder at løse en opgave på, hvis man er i tvivl om man har regnet rigtigt til eksamenen eller har fået et mærkeligt resultat

Lige præcis

Hej igen

Jeg skriver lige hurtig igen, da jeg gerne vil spørge jer om i ved hvordan man omskriver forskriften i opgave 3 b) i TI-nspire

For en eksponentielt voksende funktion M(t)=b*a^t kan den omskrives til den naturlige eksponentiel funktion M(t)=b*e^k*t

Jeg har i den forrige opgave fået a til 1.07866

Jeg har en ide om at man kan tage den naturlige logaritme til a, således at man får konstanten k

Som sagt tidligere er e eulers tal, men jeg er ikke helt sikker på hvordan den omskrives på ti-nspire.

Er der nogen der kan hjælpe?

Er der nogle logaritmeregneregler jeg skal anvende for at omskrive formlen ?

En potensregneregel:

Yes jeg anvendte reglen om konstanten k kan findes ved at sige k=ln(a). Jeg fandt ud af omskrivningen, men tusind tak for hjælpen :)