Lige nu 477 online.

Persondatapolitik

Studieportalen.dk › Kompendier › Matematik › Matematik formelsamling › Andengradsligning

Andengradsligning

En andengradsligning er helt essentiel i matematik. Derfor er det vigtigt at forstå, hvad en andengradsligning er og vigtigst at kunne løse den. Man skriver også ofte '2. gradsligning' på denne måde. I artiklen her benyttes begge måder.

En andengradsligning er nært forbundet med et andengradspolynomium.

En 2. gradsligning er en ligning med én ubekendt (x), som er opløftet i anden potens og (måske) i første potens. Foruden den ubekendte x, indgår der i 2. gradsligningen 3 reelle konstanter (a, b og c), også kaldet koefficienter.

Andengradsligning - formel

Den generelle formel for en andengradsligning ser ud på følgende måde:

ax^2 + bx + c = 0

a ≠ 0 , da der ikke er tale om en andengradsligning, hvis a = 0

er den ubekendte (opløftet i anden potens og (måske) i første potens)

a, b og er reelle konstanter

For at kunne løse en 2. gradsligning skal der være et på den ene side af lighedstegnet. For 2. gradsligninger gælder, at er konstanten foran den ubekendte opløftet i anden potens x^2 . altid konstanten foran den ubekendte i første potens , og er en konstant.

Eksempel på 2. gradsligning:

-2x^2 + 8x – 6 = 0

(a = -2, b = 8 og c = -6)

Løs andengradsligning

En andengradsligning kan have 0, 1 eller løsninger. Det afhænger af størrelsen på hjælpestørrelsen diskriminanten. Diskriminanten D = b^2 - 4ac er helt afgørende i løsning af en andengradsligning. Når man har udregnet , kan man finde løsningerne for .

En andengradsligning kan, som en funktion af , grafisk afbildes som en parabel. Når en andengradsligning har to løsninger, er de parablens skæringspunkter med x-aksen. På samme måde som når man skal finde rødder for et andengradspolynomium. Er der kun én løsning på andengradsligningen, er den parablens toppunkt og skæring med x-aksen. Er der ingen løsninger, så skærer parablen ikke x-aksen.

Lad os se på et par eksempel, da tal er med til at øge forståelsen og logikken i at løse en andengradsligning.

Eksempel 1:

-2x^2 + 8x – 6 = 0

(a = -2, b = 8 og c = -6)

Først skal man finde , der er defineret ved formlen: D = b^2 – 4ac – 4ac

   $D = 8^2 – 4\cdot(-2)\cdot(-6)$ $- 4\cdot(-2)\cdot(-6)$
$\Updownarrow$
   D = 64 - 48
$\Updownarrow$
   D = 16

Da D > 0 er der to løsninger af 2. gradsligningen.

De findes ved formlen $x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt {16}}{2\cdot(-2)}$
$\Updownarrow$
$x = \frac{-8 \pm 4}{-4}$
$\Updownarrow$
x = 1 eller x = 3

Andengradsligningens løsninger: x = 1 eller x = 3

Som kontrol kan man indsætte de to værdier i andengradsligningen:

-2x^2 + 8x – 6 = 0 – 6 = 0
$\Downarrow$
$-2\cdot(1)^2 + 8\cdot(1) – 6 = 0$ – 6 = 0
$\Updownarrow$
-2 + 8 – 6 = 0 – 6 = 0
$\Updownarrow$
0 = 0 (x = 1 er en løsning)

   -2x^2 + 8x – 6 = 0 – 6 = 0
$\Downarrow$
   $-2\cdot(3)^2 + 8\cdot(3) – 6 = 0$ – 6 = 0
$\Updownarrow$
   -18 + 24 – 6 = 0 – 6 = 0
$\Updownarrow$
0 = 0    (x = 3 er en løsning)

Eksempel 2:

-4x^2 – 5x + 9 = 0 – 5x + 9 = 0

(a = -4, b = -5 og c = 9)

Først skal man finde , der er defineret ved formlen: D = b^2 – 4ac – 4ac

   $D = (-5)^2 – 4\cdot(-4)\cdot9$ $- 4\cdot(-4)\cdot9$
$\Updownarrow$
   D = 25 + 144
$\Updownarrow$
   D = 169

Da D > 0 er der to løsninger af 2. gradsligningen.

De findes ved formlen $x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}$

   $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt {169}}{2\cdot(-4)}$
$\Updownarrow$
   $x = \frac{5 \pm 13}{-8}$
$\Updownarrow$
   x = -2,25 eller x = 1

Andengradsligningens løsninger: x = 1 eller x = -2,25

Igen kan man indsætte de to værdier i andengradsligningen som kontrol:

   -4x^2 – 5x + 9 = 0 – 5x + 9 = 0
$\Downarrow$
   -4(1)^2 – 5(1) + 9 = 0 – 5(1) + 9 = 0
$\Updownarrow$
   -4 – 5 + 9 = 0 – 5 + 9 = 0
$\Updownarrow$
0 = 0 (x = 1 er en løsning)

   -4x^2 – 5x + 9 = 0 – 5x + 9 = 0
$\Downarrow$
   -4(-2,25)^2 – 5(-2,25) + 9 = 0 – 5(-2,25) + 9 = 0
$\Updownarrow$
   -20,25 + 11,25 + 9 = 0
$\Updownarrow$
0 = 0 (x = -2,25 er en løsning)

Skjulte andengradsligninger

Lad os se på nogle eksempler for omskrivningen af en 2. gradsligning. Disse ligninger er alle udtryk for en ’skjult’ 2. gradsligning, som det fremgår af omskrivningerne.

( ganges ind i parentes)
$\Updownarrow$
( trækkes fra på begge sider af lighedstegnet)
$\Updownarrow$
– 4x) + 8 = 3x - 7 ( ganges ind i parentes)
$\Updownarrow$
(træk fra på begge sider og læg til på begge sider)
$\Updownarrow$
(parenteserne ganges ud)
$\Updownarrow$
(træk fra på begge sider)
$\Updownarrow$
(læg til på begge sider)
$\Updownarrow$
(gang parentes ud)
$\Updownarrow$
– 2 (træk fra på begge sider)
$\Updownarrow$
-2 (læg og til på begge sider)
$\Updownarrow$

En andengradsligning kan forekomme på flere forskellige måder. I eksempel 3 er der kun to led, da c = 0 . I eksempel 4 er der også kun to led, da b = 0 .

Afgørende i en andengradsligning er det, at der kun er en ubekendt , som maximalt er opløftet i anden potens.

Se flere eksempler på de efterfølgende sider.

Indhold

Seneste indlæg
V: Differentiering? (0)
V: bestemme ligevægten (2)
A: Udregn (1)
9: Reducering (2)
B: Sandsynlighedsregning (0)

Populære indlæg
V: Differentiering? (0)
V: Find de to enhedsvektorer u ̅ hv... (2)
A: Udregn (1)
V: bestemme ligevægten (2)
A: Biordnes funktion (2)

Hjælp: Support | FAQ | Stopplagiat.nu

Se også: Skolediskusjon.no | Studienet.dk | Studienett.no | Studienet.se