"
>

Differentialregning

Differentialregning er en måde at analysere og regne på funktioner, som fortæller noget om hvordan funktionen bevæger sig.

Hvad er differentialregning?

Differentialregning handler om at beskrive funktioner, og i de fleste tilfælde tager denne beskrivelse form som en ny funktion, som vi kalder funktionens afledte. En afledet funktion fortæller i hvert punk, hvor meget den originale funktion stiger eller falder i samme punkt.

Differentiabilitet

Differentiabilitet er en vigtig egenskab i differentialregning, da den afgør om man kan differentiere en funktion eller ej. Hvis en funktion kan differentieres, kalder vi den differentiabel. Det første vi kræver for at en funktion er differentiabel, er at den er kontinuert, hvilket betyder at den ikke har nogen hop. Se artiklen Kontinuitet.

Det andet vi kræver for differentiabilitet, er at funktionen ikke har nogen knæk. Funktionen skal altså være glat og ikke pludselig skifte retning. Hældningen af tangenten til funktionens graf må kun gradvis skifte retning. Hvis funktionen overholder disse to regler, er den differentiabel.

Funktionstilvækst

Funktionstilvækst bliver brugt i differentialregning, og er en simpel måde at teste hvordan en funktion bevæger sig. Man starter med et punkt, \(x_0\), på funktionens graf og finder ud af hvor meget funktionen stiger eller aftager, hvis man går et lille stykke h frem. Givet en funktion f er funktionstilvæksten lig:

\Delta y = f(x_0 + h) - f(x_0)

Vi bruger her tegnet \Delta (udtales delta) til at symbolisere funktionstilvækst.

Regneregler i differentialregning

Der findes regneregler i differentialregning, som gør det meget nemt at differentiere. I stedet for at gå igennem tretrinsmetoden, hver gang vi vil differentiere en funktion, kan vi bruge en række generelle regler til at differentiere stort set alle slags funktioner. Vi gennemgår de vigtigste af disse regler i artiklen Differentialkvotient.

Optimering i differentialregning

Optimering i differentialregning er en type opgave som differentialregning er meget effektiv til at udregne. Det vil i de fleste tilfælde være et problem, hvor en matematisk betingelse er givet, der indeholder en eller flere variabler, og man skal nu finde den største eller mindste værdi af en af variabler. Man kan løse dette problem ved at definere betingelsen som en funktion, og finde dens ekstrema. Se eksempel 2.

Eksempel 1

Givet funktionen f:

f(x) = x^3 - 2x^2 + x


Grafen over funktionen f(x).

Vi differentierer f ved hjælp af regnereglerne fra artiklen Differentialkvotient, og får den differentierede funktion:

f'(x) = 3x^2 - 4x + 1


Grafen over funktionen f(x) differentieret, altså f'(x).

\(f'(x)\) viser altså hvor meget \(f(x)\) stiger eller falder. Bemærk at \(f'(x)\) er negativ når \(f(x)\) falder, og at \(f'(x)\) skærer x-aksen (er lig nul), der hvor \(f(x)\) skifter mellem at stige og aftage.

Eksempel 2

Dette er et eksempel på en optimeringsopgave. En virksomhed laver dåser, og skal designe en ny dåse, der kan indeholde en liter væske. Dåsen er cylinder-formet. Virksomheden vil gerne bruge så lidt materiale som muligt, så de vil regne ud hvilken højde og radius der giver det mindste overfladeareal.

En liter er 1000 cm3 (kubikcentimeter). Vi bruger formlen for en cylinders rumfang, \(\pi \cdot r^2 \cdot h\), og får følgende ligning:

\pi \cdot r^2 \cdot h = 1000

Og overfladearealet har følgende formel:

Overfladeareal = 2\cdot \pi \cdot r \cdot (r + h)

Vi skal altså finde det forhold mellem radius r og højde h, som giver det mindste overfladeareal. For at vi kan gøre dette, bliver vi nødt til at have en funktion med kun én variabel.

Dette opnår vi ved at bruge ligningen for rumfanget, hvor vi kan isolere højden h.

h = \frac{1000}{\pi \cdot r^2}

Vi kan nu indsætte tusind over pi gange r i anden, i stedet for h i formlen for overfladeareal, og få en funktion med hvilken vi kan finde minimum:

f(r) = 2\cdot \pi \cdot r \cdot (r + \frac{1000}{\pi \cdot r^2}) = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + \frac{2000}{r}

Vi finder minimum ved metoden beskrevet i artiklen Ekstrema. Først differentierer vi f(r):

f'(r) = 4 \cdot \pi \cdot r - \frac{2000}{r^2}

For at finde ekstrema skal vi finde, hvor \(f'(r)\) er nul:

\newline f'(r) = 0 \newline \Updownarrow \newline 4 \cdot \pi \cdot r - \frac{2000}{r^2} = 0 \newline \Updownarrow \newline 4 \cdot \pi \cdot r = \frac{2000}{r^2} \newline \Updownarrow \newline 4 \cdot \pi \cdot r^3 = 2000 \newline \Updownarrow \newline r^3 = \frac{2000}{4 \cdot \pi} \newline \Updownarrow \newline r^3 = 159,15 \newline \Updownarrow \newline r = \sqrt[3]{159,15} = 5,42

For at dette er et minimum skal \(f'(r)\) være negativ før og positiv efter:

\\f'(5) = 4 \cdot \pi \cdot 5 - \frac{2000}{5^2} = -17,17

\\f'(6) = 4 \cdot \pi \cdot 6 - \frac{2000}{6^2} = 19,84

Altså er det mindste overfladeareal ved en radius på r = 5,42 cm. Og så skal højden være:

h = \frac{1000}{\pi \cdot 5,42^2} = 10,84

Ved hjælp af differentialregning kan man altså beregne at dåsen bør have en højde på 10,84 cm og en radius på 5,42 cm, for at have det mindste overfladeareal i forhold til rumfanget på en liter.