Differentialkvotient

Differentialkvotienten af en funktion, betyder grundlæggende, at man finder ud af hvordan en funktion stiger og falder. En funktions differentialkvotient i et punkt fortæller, hvor meget funktionen stiger eller falder i netop dette punkt.

Afledet funktion

En afledet funktion er en ny funktion, der er skabt ud fra en grundfunktion, og som er lig en grundfunktions differentialkvotient. Dermed fortæller en afledet funktion for hver x-værdi, hvor meget grundfunktionen stiger eller aftager.

En funktions differentialkvotient i et punkt siger altså, om den kurve man kan tegne på  baggrund af funktionen går op eller ned. Hvis man vælger et punkt på kurven og går lidt fremad, kan man se om kurven er gået opad eller nedad (y-værdien er steget eller faldet). Man kan tegne en linje fra punktet til et punkt fremad på kurven, og denne linjes hældning siger noget om kurvens hældning i punktet. En differentialkvotient er hældningen af denne linje, når mellemrummet mellem de to punkter er uendeligt lille. Se artiklen Tretrinsreglen.

Differentiering

Differentiering kaldes også differentiation. Det er præcis det samme og i denne artikel benyttes de to begreber som synonymer.

Differentiation foregår ved at man, ved hjælp af de forskellige regler for differentiation, skaber en afledet funktion af den funktion man vil differentiere. Hvis man har en funktion f som man vil differentiere, vil man ofte kalde dens afledte f' (f mærke).

Ligesom alle andre funktioner vil man kunne give en afledet funktion en x-værdi og få en y-værdi ud. Men for en afledet funktion f' har y-værdien den betydning at den siger hvilken stigning grundfunktionen f har i punktet x. En afledet funktion siger altså ikke noget om hvor vi er på grafen, men kun hvor meget vi stiger eller falder.

Regneregler for differentiation

Der findes en del regneregler for differentiation. Det svarer til at sige 'regneregler for differentialkvotienter', det er blot forskellige måder at udtrykke det på. Vi vil således herunder gennemgå de vigtigste regneregler for differentiation.

Differentiering af konstant funktion

Hvis man har en funktion f, der er konstant, det vil sige at den bare er lig et tal a, er den afledte funktion altid lig 0.

\\f(x) = a

\\f'(x) = 0

Potensreglen

Hvis man har en funktion f, der er lig x opløftet i en potens a, er funktionens differentiale lig a gange x opløftet i a minus 1.

\\f(x) = x^a

\\ f'(x)=a\cdot x^{a-1}

Differentiering af kvadratrod

Hvis man har en funktion f, der er lig kvadratroden af x, er dens afledte lig ½ gange x opløftet i minus ½.

\\f(x) = \sqrt x

\\f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}

Dette ser måske meget mærkeligt ud, men faktisk kommer denne regel fra potensreglen. Matematisk er kvadratrod det samme som at tage et tal i den halve potens. Når man ved dette kan man se at vi bare har gjort det samme som i potensreglen, hvor a her er lig en halv.

Differentiering af sum

Hvis man har en funktion f, som er lig summen af to funktioner p og q, er dens afledte lig p differentieret, plus q differentieret:

\\f(x) = p(x) + q(x)

\\f'(x) = p'(x) + q'(x)

Denne regel gælder på samme måde for subtraktion. Altså, for en funktion, der er lig p minus q, er dens afledte lig p' minus q'.

Differentiation af produkt

Hvis man har en funktion f, som er lig produktet af to funktioner p og q, og man vil finde dens differentialkvotient, skal man bruge produktreglen. Se artiklen Produktreglen.

Differentiering af brøk

Hvis man har en funktion f, som er lig brøken p divideret med q, er dens afledte lig p differentieret gange q, minus q differentieret gange p divideret med q i anden potens:

\\f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}

\\f'(x)=\frac{p'(x)\cdot q(x) - q'(x)\cdot p(x)}{q(x)^2}

Differentiering af sammensat funktion

Hvis man har en funktion, som er sammensat af to andre funktioner, bruger man den såkaldte kæderegel. Se mere i vores artikel Kædereglen.

Differentiering af de trigonomiske funktioner

De trigonomiske funktioner sinus og cosinus er nemme at differentiere af de er lig den anden, når man differentierer:

\\(sin(x))' = cos(x)

\\(cos(x))' = sin(x)

Eksempel 1

Det første eksempel på differentiering af funktion, er en simpel andengradsligning. Vi kalder funktionen f.

f(x) = x^2 + x + 5

Det første at bemærke er, at f er opbygget af tre funktioner. Da de er lagt sammen skal vi ifølge reglen for differentiering af sum, bare differentiere hver funktion for sig og lægge de differentierede funktioner sammen, for af få den afledte.

  • x i anden potens bliver med potensreglen til 2 gange x.
     
  • x bliver til 1, fordi x er det samme som at sige x i første potens. Med potensreglen får vi da 1 gange x i nul'te potens. x i nul'te potens giver altid 1. Det vil sige vi har 1 gange 1, som selvfølgelig er lig med 1.
     
  • 5 differentieret giver 0 i følge reglen for differentiering af en konstant funktion.

Altså når vi differentierer f, får vi funktionen f mærke:

f'(x) = 2x + 1

Eksempel 2

I dette eksempel har man en brøk og et produkt i funktionen.

f(x) = \frac{4}{7 x^4}

Vi ved at vi skal bruge reglen for differentiation af brøk, og derfor skal vi finde den afledte af hver af funktionerne for at kunne bruge reglen. 4 differentieret er lig med 0 i følge reglen for differentiering af en konstant funktion.

For funktionen 7x^4, skal vi bruge produktreglen. Fra produktreglen får vi 7 differentieret gange x i fjerde potens, plus 7 gange x i fjerde differentieret. Da syv differentieret er lig med 0 giver dette:

0 \cdot x^4 + 7 \cdot 4 x^3 = 28x^3

Altså er f differentieret lig med:

f'(x) = \frac{0\cdot x^4 - 28x^3\cdot 4}{(28x^3)^2} = \frac{-112x^3}{784x^6} = -\frac{1}{7} \cdot x^{-3}