Kædereglen for sammensat funktion

Kædereglen er en regel for differentiering af sammensatte funktioner i differentialregning.

Hvad er en sammensat funktion?

En sammensat funktion er en funktion, som har en anden funktion inden i sig. Altså på pladsen, hvor x normalt står, er der indsat en anden funktion. Hvis vi for eksempel har de to funktioner f(x) og g(x) er følgende en sammensat funktion:

h(x) = f(g(x))

Vi kalder f den ydre funktion, og g den indre funktion. Man differentierer en sammensat funktion med kædereglen:

h'(x) = (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x)

Altså man differentierer en sammensat funktion, ved at differentiere den ydre funktion med den indre indsat og dernæst gange med den indre funktion differentieret.

Sådan fungerer kædereglen

Sammensatte funktioner er meget hyppige, og kædereglen gør der meget nemmere at regne på dem. For eksempel den følgende funktion:

\frac{1}{2x^2 + 3x + 9}-\frac{2}{9}

Denne funktion kan se ud som om den er meget svær at løse, men hvis man kigger lidt på den kan man se, at det er en sammensat funktion.

f(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{9} er den ydre funktion.

g(x) = 2x^2 + 3x + 9 er den indre funktion.

Hver for sig er disse funktioner nemme at differentiere, og når man har differentieret dem, kan man nemt sætte dem sammen med kædereglen.

Eksempel

Vi differentierer i dette eksempel en sammensat funktion og benytter derfor kædereglen.

h(x) = sin(x^3 + 5x^2 + 2) + 4

f(x) = \sin(x) + 4 (ydre funktion)

g(x) = x^3 + 5x^2 + 2 (indre funktion)

Lad os først differentiere funktionerne hver for sig:

\\f(x) = \sin(x) + 4 \newline f'(x) = \cos(x)

\\g(x) = x^3 + 5x^2 + 2 \newline g'(x) = 3x^2 + 10x

Nu kan vi sætte dem sammen igen efter kædereglen:

h'(x) = \cos(x^3 + 5x^2 + 2) \cdot (3x^2 + 10x)

Den ydre differentieret med den indre indsat gange med den indre differentieret.