Produktreglen

Produktreglen er en regel som benyttes i differentialregning til at differentiere funktioner, der er produktet af to funktioner.

Hvis vi har en funktion h(x), som eksempelvis er produktet af to funktioner f og g:

h(x) = f(x)\cdot g(x)

Så kan man differentiere denne funktion ved hjælp af produktreglen:

h'(x) = (f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)

Produktreglen siger at, for at differentiere produktet af to funktioner, skal vi tage den første differentieret og gange med den anden, plus den første gange med den anden differentieret.

Når vi kan udføre differentiation af produkt, er der mange funktioner som kan deles op, og som dermed nemmere kan differentieres. For eksempel, hvis man har en funktion som denne:

3x \cdot \ln(x)

Her kan man dele funktionen op i to funktioner, 3x og ln(x). Disse er nemme at differentiere hver for sig, og kan med produktreglen sættes sammen til sidst.

Eksempel

Vi vil differentiere en funktion ved brug af produktreglen.

h(x) = (4x^2+2x)\cdot5x^4

Vi har de to led, vi kan kalde det første led: f(x) = 4x^2 + 2x, og det andet led: g(x) = 5x^4.

Først differentierer vi dem hver for sig:

\\f(x) = 4x^2+2x \newline f'(x) = 8x + 2

\\g(x) = 5x^4 \newline g'(x) = 20x^3

Så bruger vi produktreglen, som angivet ovenfor:

h'(x) = (f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)

\\h'(x) = ((4x^2+2x)\cdot5x^4)' = \newline (8x + 2)\cdot 5x^4 + (4x^2+2x) \cdot 20x^3 = \newline 40x^5 + 10x^4 + 80x^5 + 40x^4 = \newline 120x^5 + 50x^4

Vores funktion differentieret ved hjælp af produktreglen er dermed:

h'(x) = 120x^5 + 50x^4.