"
>

Tangent

En tangent i matematik er en linje, der skærer en kurve i ét punkt og har samme hældning som kurven i dette punkt.


Tangent (rød linje) på en kurve.

Vi vil i denne artikel beskrive tangentlinjer, men der findes også tangent-planer, som tilsvarende rører tredimensionelle kurver i ét punkt.

Hvad er en tangent?

En tangent løber langs en kurve, og rører den i bare ét punkt. Tæt på dette punkt vil kurven og tangenten ligge næsten parallelt. Man kan også give en definition af en tangent, der siger at det er en sekant, hvis punkter ligger uendelig tæt på hinanden.

En tangent har samme hældning som kurven i det punkt hvor den rører kurven. Altså vil en tangents hældning være lig differentialkvotienten af funktionen i punktet. Tangenten på en funktionskurve viser altså hvor meget kurven stiger eller falder i røringspunktet.

Dermed kan vi lave følgende tangent-formel, for tangenten af funktionen \(f(x)\) i punktet \(x_0\):

y = f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x-x_0)

Denne tangent-formel har samme form som linjens ligning, \(y = ax + b\).

Hvor a er \(f'(x_0)\), b er \(f(x_0)\) og \(x\) er skiftet ud med \((x - x_0)\). Se mere i artiklen Tangentligning.

Det er ofte svært at tegne en tangent, da man skal kende den vinkel, som gør det muligt kun at røre grafen for en funktion i et punkt. Derfor bruger man ofte en sekant, her er sekantens punkter tæt på tangent-røringspunktet, til at approksimere hældningen. Ellers finder man hældningen ved at differentiere kurvens funktion.

Eksempel

Vi har kurve over en tredjegradsligning:

f(x) = x^3 + 4x^2 + 4x + 2

Og vi vil finde tangenten til \(x = -0,5\).


Kurven af funktionen \(f(x) = x^3 + 4x^2 + 4x + 2\). Punktet \(x = -0,5\) markeret.

Vi kan differentiere funktionen til:

f'(x) = 3x^2 + 8x + 4

For at kunne konstruere en tangent-formel skal vi finde funktionsværdierne af funktionen, \(f(x)\), og den differentierede funktion, \(f'(x)\) i punktet x = -0,5.

f(-0,5) = (-0,5)^3 + 4(-0,5)^2 + 4(-0,5) + 2 = -0,125 + 1 - 2 + 2 = 0,875

f'(-0,5) = 3 \cdot (-0,5)^2 + 8 \cdot (-0,5) + 4 = 0,75 + (-4) + 4 = 0,75

Dermed kan vi igen konstruere en formel:

y = f(-0,5) + f'(-0,5)\cdot (x + 0,5) = 0,875 + 0,75 \cdot (x + 0,5) = 0,75x \;+ 1,25

Vi har nu tangentens ligning: \(y = 0,75 x + 1,25\), og kan tegne den ind i figuren.


Kurven med tangenten i \(x = -0,5\) tegnet med rødt.

Hældningen er 0,75 og skæringen med y-aksen er 1,25, som det ses på figuren ovenfor.

Indhold