Tangentligning

Tangentligning er den matematiske beskrivelse af en tangent. En tangent er en ret linje, der rører en kurve i ét punkt. En tangentligning er dermed en definition af tangenten i et koordinatsystem.

Da en tangent er en ret linje, ligner tangentligningen linjens ligning. En tangents hældning er lig hældningen af kurven i røringspunktet, som er lig grafen for funktionens differentialkvotient i punktet. Så hvis vi har en tangent, der rører kurven af funktionen f(x) i punktet x_0, er tangentens hældning lig f'(x_0).

For at placere tangenten det rette sted, skal vi endvidere kende et skæringspunkt (b for linjens ligning). Da vi ikke ved hvor tangenten skærer y-aksen, bruger vi skæringspunktet for kurven f(x_0), men for at linjens ligning skal være korrekt, bliver vi nødt til at skubbe funktionen med x_0. Det gør vi ved at trække x_0 fra x i ligningen. Altså har vi følgende tangentligning:

Ligning for tangent

y = f'(x_0)\cdot( x - x_0) + f(x_0)

Tangentens ligning er altså lig funktionen differentieret i x_0 gange x - x_0 plus funktionen i x_0.

Eksempel

Vi har i dette eksempel at gøre med funktionen:

f(x) = x^3

Vi vil bestemme tangenten i x = 1, i dette punkt er f lig med 1, da 1^3 også er lig med 1.

Vi differentierer funktionen:

f'(x) = 3x^2

Vi har altså en tangenthældning på 3x^2 med x = 1 indsat. Så vi til sidst kan bestemme ligning for tangent:

y = f'(1)\cdot(x - 1) + f(1) = 3\cdot 1^2 \cdot(x - 1) + 1 = 3x - 2


Funktionen f(x) = x3 med en tangent i x = 1 markeret med rødt. Tangentens ligning er y = 3x - 2.

Tangentens ligning for funktionen f(x) er dermed: y = 3x - 2.