Eksponentiel funktion

En eksponentiel funktion er en funktion, der vokser eksponentielt, hvilket vil sige at den vokser eller falder hurtigere og hurtigere jo højere x-værdi man giver den.

Denne ændring i hastighed betyder, at hældningen af en eksponentiel funktionen ændrer sig med tiden, hvilket giver runde kurver på funktionens graf. Man kan sammenligne dette med lineære funktioner, som altid har samme hældning og derfor også er helt lige.

Betydningen af a og b i en eksponentiel funktion

Det der gør en funktion eksponentiel, er at den indeholder et tal med x i potensen. Det vil sige, jo mere x stiger jo flere gange bliver tallet ganget med sig selv.

Vi kalder tallet, der bliver ganget med sig selv for a. En eksponentiel funktion har også en faktor b, som ganges på foran. Faktoren b bestemmer, ligesom for lineære funktioner, hvor funktionen skærer y-aksen. En eksponentiel funktion ser således ud:

f(x) = b\cdot a^x

Altså 'b gange a i x'te potens'. Man kan ud fra a bestemme om den eksponentielle funktion er stigende eller aftagende. Hvis a er større end én er funktionen voksende og hvis den er mindre end én er den aftagende:

a > 1: f(x) er en eksponentielt voksende funktion.

a < 1: f(x) er en eksponentielt aftagende funktion.

a = 1: f(x) er en konstant funktion.

Hvis a = 1, har vi en konstant funktion, da én gange én altid vil give én lige meget hvor stor eksponenten er. Altså hvis a er lig én vil f(x) være en konstant funktion, som altid er lig b.

Eksponentialfunktion

Hvis b = 1, kalder vi funktionen en eksponentialfunktion. Når b er lig én ændres der ikke på funktionen og vi behøver derfor ikke at skrive det. Så en eksponentialfunktion ser således ud:

f(x) = a^x

Variablen a har samme betydning i eksponentialfunktioner som i eksponentielle funktioner, og da b er lig en, vil eksponentialfunktioner altid skære y-aksen i y = 1. a kan tage alle værdier, men der findes en værdi, som er meget vigtig i matematik og fysik. Det er når a er lig med konstanten e. Tallet e er en speciel konstant, der ligesom \pi har uendelig mange decimaler.

f(x) = e^x, \;\;\; e = 2,71828...

Eksponentialfunktionen med e som grundtal har den unikke egenskab, at når man differentierer funktionen får man den samme funktion. Derfor er den meget brugt i mange forskellige sammenhænge, og omtales ofte bare som eksponentialfunktionen eller den naturlige eksponentialfunktion.

Eksempel

Vi viser tre eksempler, to eksponentielle funktioner og den naturlige eksponentialfunktion.

Eksponentiel funktion
Tre funktionskurver. Den røde er den eksponentielle funktion f(x), den blå er den eksponentielle funktion g(x), og den grønne er den naturlige eksponentialfunktion h(x).

Den røde funktionskurve er den eksponentielle funktion:

f(x) = 3\cdot 2^x

Den blå funktionskurve er den eksponentielle funktion:

g(x) = 2 \cdot 0,8^x

Den grønne funktionskurve er den naturlige eksponentialfunktion:

h(x) = e^x

Som vi kan se er den røde graf eksponentielt voksende og den blå graf eksponentielt aftagende, hvilket passer med funktionernes grundtal, som er henholdsvis 2 og 0,8. Den grønne kurve er eksponentialfunktionen e^x.