Eksponentiel udvikling

En eksponentiel udvikling er en udvikling, der kan beskrives med en eksponentiel funktion. Man bruger oftest begrebet eksponentiel udvikling inden for statistik, økonomi og procentregning.

En eksponentiel udvikling fremkommer på baggrund af en eksponentiel funktion, som ser således ud:

y = b\cdot a^x

Da x er den frie variabel, som vi kan give hvilken som helst værdi, kaldes x den uafhængige variabel. I eksponentielle udviklinger er x ofte en tidsvariabel. y kaldes den afhængige variabel, da den afhænger af hvilken x-værdi vi har givet funktionen.

For en eksponentiel udvikling er variablen b udgangspunktet. b er det tal vi starter med, før der sker en udvikling. Dermed bestemmer b også hvor funktionen skærer y-aksen. Variablen a bestemmer hvor meget udviklingen vokser eller aftager. Forholdet mellem afhængig variabel og uafhængig variabel ændrer sig hele tiden i en eksponentiel udvikling, i modsætning til en lineær udvikling, hvor forholdet altid er det samme.

Ofte er a et procenttal. Hvis vi har en udvikling der stiger med p% per tidsenhed x, skriver vi p som decimaltal og omskriver formlen således:

y = b\cdot (1 + p)^x

Hvis man har haft rentesregning ser denne formel nok bekendt ud. Det er nemlig formlen for renters rente (dog med andre variabel-navne). Ligesom for renters rente vil enhver eksponentiel udvikling for hver tidsenhed stige relativt mere og mere (hvis p er positiv), eller falde relativt mere og mere (hvis p er negativ), efterhånden som udviklingsraten (1 + p) bliver ganget flere og flere gange med sig selv.

Eksempel

En forsker undersøger befolkningstilvæksten i en by. Byen har 1000 indbyggere, og på et år stiger dette tal til 1050.

\frac{1050}{1000} = 1,05 = 5 \%

Befolkningen stiger altså med 5 \% på et år. Nu vil vi udregne hvor mange indbyggere byen vil have, hvis denne udvikling fortsætter i ti år.

Vi skal altså opsætte en eksponentiel udvikling. Den uafhængige variabel x er lig tid i år, og den afhængige variabel y er lig befolkningstallet efter det antal år. Variablen b er lig de oprindelige 1000 indbyggere, og a er lig 5 procent.

Altså har vi:

Befolkningstal = 1000 \cdot (1 + 0,05)^x

Så efter ti år:

Befolkningstal = 1000 \cdot (1 + 0,05)^{10} = 1628,89 = 1629

Hvis udviklingen forsætter vil der altså være 1629 indbyggere i byen efter ti år.

Derfor er eksponentielle udviklinger meget benyttede når man vil forsøge sig med prognoser eller fremskrivninger. 'Hvis denne udvikling, som man hidtil har observeret, fortsætter, vil der ske det og det i fremtiden...'