Eksponentiel vækst

Eksponentiel vækst er en matematisk beskrivelse af en form for vækst, der stiger eller falder med accelererende hastighed. Et eksempel på eksponentiel vækst er renters rente, hvor renten hver gang bliver større og større, fordi renten også tildeles rente.

Da eksponentiel vækst ofte giver ekstremt hastigt stigende eller aftagende funktioner, kan det være svært at få et meningsfyldt resultat, ud af at tegne dem på en almindelig graf. I stedet kan man bruge enkeltlogaritmisk papir. Enkeltlogaritmisk papir har et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, hvilket betyder at koordinatsystemet stiger med en faktor ti i hvert skridt. Altså i stedet for at have 1, 2, 3, 4 og så videre på y-aksen, har man i stedet 1, 10, 100, 1000 og så videre på y-aksen.

Eksponentiel vækst beskrives med en eksponentiel funktion:

f(x) = b\cdot a^x

Hvis man har to punkter, som er del af en eksponentiel vækst, kan man finde den eksponentielle funktionens vækstrate a og skæringspunktet med y-aksen b, og definere en eksponentiel funktion for væksten. For to punkter:

p_1: (x_1,y_1) \;\;\; p_2: (x_2,y_2)

Da er a:

a = \sqrt[x_2 - x_1]{\frac{y_2}{y_1}}

Altså man trækker de to x-værdier fra hinanden og tager den tilsvarende rod fra dette tal, af y_2 divideret med y_1. Derefter kan man finde b, ved at bruge et af punkterne:

b = \frac{y_1}{a^{x_1}}

Og dermed har man a og b for den eksponentielle vækst.

Eksempel

Vi skal finde den eksponentielle funktion for en eksponentiel vækst. Vi får at vide at en bestemt population vokser eksponentielt. Efter et år er populationen 15 og efter tre år er populationen 135. Dette giver os to punkter:

p_1: (1,15) \;\;\; p_2: (3,135)

a = \sqrt[3-1]{\frac{135}{15}} = \sqrt{9} = 3

Vi finder b, som også er populations start værdi:

b = \frac{15}{3^{1}} = \frac{15}{3} = 5

Dette giver os altså den en eksponentiel funktion, som ser således ud:

y = 5\cdot 3^x


Grafen over den eksponentielle vækst y = 5 \cdot 3^x, med de to punkter markeret.

Ovenstående graf viser funktionen og de to punkter.