Fordoblingskonstant

Fordoblingskonstanten er en matematisk konstant, man kan finde for eksponentielt stigende funktioner. Da eksponentielle funktioner altid stiger med en bestemt procent eller faktor, kan man udregne hvor meget ændring i x-værdien der skal til, for at funktionens værdi fordobles.

Altså vil funktionen 2^x have fordoblingskonstanten 1, da funktion fordobler værdien hver gang x stiger med 1.

Man kan finde fordoblingskonstanten af en enhver stigende eksponentiel funktion. Det eneste man skal bruge er funktionens a-værdi. Når vi har a, kan vi opskrive følgende ligning:

a^x = 2

Vi vil altså finde ud af hvor stor x skal være, for at a i x'te potens giver to. Da vi skal finde x, bliver vi nødt til at bruge logaritmer for at få x ned fra eksponenten:

\newline\log(a^x) = \log(2) \newline \Updownarrow \newline x\log(a) = \log(2)\newline \Updownarrow \newline x = \frac{\log(2)}{\log(a)}

Dermed er fordoblingskonstanten x lig med logaritmen af 2 divideret med logaritmen af a.

Hvis man har en aftagende funktion, kan man ikke finde en fordoblingskonstant, da funktionen jo aldrig fordobles. I stedet kan man finde halveringskonstanten.

Halveringskonstant

Halveringskonstanten findes på samme måde som fordoblingskonstanten, bortset fra at a^x = \frac{1}{2} i stedet for 2 (som for fordoblingskonstanten). Det giver os en formel for halveringskonstant, som ser således ud:

x = \frac{\log(\frac{1}{2})}{\log(a)}

Fordoblingskonstanten betegnes som T_2 og halveringskonstanten betegnes normalt som T_{1/2} og formlerne ser således ud:

T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)}

T_{\frac{1}{2}} = \frac{\log(\frac{1}{2})}{\log(a)}

Eksempel 1

Vi vil finde fordoblingskonstanten for en eksponentiel funktion. Vi har en funktion, der stiger med 10% i hvert tidsskridt og starter fra 10. Altså må b = 10 og a = (1 + 10%) = (1 + 0,10) = 1,10.

Funktionen ser således ud:

f(x) = 10*1,10^x

Vi finder fordoblingskonstanten for den eksponentielle funktion f(x) med vores formel:

T_2 = \frac{\log(2)}{\log(1,1)} = 7,27

Den eksponentielle funktion f(x) bliver dermed fordoblet hver gang x stiger med 7,27. Sagt med andre ord når \Delta x = 7,27 fordobles funktionsværdien.

Eksempel 2

Vi finder i dette eksempel halveringskonstanten af en eksponentialfunktion g(x).

Vi har denne funktion:

g(x) = 0,7^x

Vi bruger vores formel for halveringskonstant:

T_{\frac{1}{2}} = \frac{\log(\frac{1}{2})}{\log(0,7)} = 1,94

Eksponentialfunktionen g(x) bliver altså halveret hver gang x stiger med 1,94. Eller med andre ord når \Delta x = 1,94 halveres funktionsværdien.