Cirklens ligning

Cirklens ligning er en matematisk beskrivelse af cirklen. En cirkel er en todimensionel figur indenfor geometri, og den vil derfor oftest blive defineret i et koordinatsystem. Centrum af cirklen vil være et punkt (x, y) i koordinatsystemet. En cirkel defineres ud fra 3 komponenter; dens centrum, et punkt på cirkelperiferien og radius. Derfor er disse 3 komponenter helt afgørende for bestemmelse af cirklens ligning.

Hvis man har en cirkel med centrum i (c_x, c_y) og radius r, er cirklens ligning:

(x-c_x)^2 + (y-c_y)^2 = r^2

I cirklens ligning, er (x,y) vilkårlige koordinatpunkter i koordinatsystemet. Men for at et vilkårligt punkt opfylder cirklens ligning, skal punktet (x,y) være et punkt på cirklens periferi. Dermed skal følgende gælde: 

Punktets x-koordinat minus centrum x-koordinatet kvadreret plus punktets y-koordinat minus centrum y-koordinatet kvadreret skal væer lig med radius kvadreret.

En cirkel i et koordinatsystem, skal opfylde cirklens ligning.

Ofte sættes en cirkels centrum til punktet (0, 0), og så bliver cirklens ligning mere simpel:

x^2 + y^2 = r^2

Tangent til cirkel

Tangent til cirkel er en ret linie der tangerer cirklen, som på figuren herunder:


Tangent til en cirkel.

En tangent til en cirkel er en linje der rører cirklen i et punkt på periferien, og som ligger vinkelret på radius-linjen til dette punkt. En tangent til en cirkel rører ALTID kun cirklen i ét punkt på cirkelperiferien. Men da der findes uendeligt mange punkter på cirkelperiferien, er der også uendeligt mange tangenter til cirkelen.

Tangent formel

For at beregne tangentens ligning, skal vi vide i hvilket punkt tangenten rører cirklen. Vi kalder dette punkt for (t_x, t_y). Vi bruger dette punkt til at finde radius linjen, der ligger vinkelret på tangenten. Denne linje går fra cirklens centrum, (c_x, c_y), til (t_x, t_y). Den har altså en hældning på:

\frac{t_y - c_y}{t_x - c_x}

Vi ved at radius linjen er vinkelret på tangenten, hvilket matematisk betyder at hældningen af radius linjen gange hældningen af tangenten er lig minus 1

\frac{t_y - c_y}{t_x - c_x} \cdot a_t = -1

Vi kan altså, ved at løse denne ligning, finde tangentens hældning, og når vi har hældningen kan vi finde skæringspunktet på y-aksen. Og dermed har vi tangentens ligning. Se eksempel 2.

Eksempel 1

Her har vi defineret en cirkel ud fra cirklens ligning.


Cirkel med centrum i (0,1) og med radius r = 13.

Radius er 13 og centrum er i (0,1), så cirklens ligning ser således ud:

(x-0)^2 + (y-1)^2 = 13^2

Eksempel 2

Vi vil arbejde videre med cirklen fra eksempel 1, og finde ligningen for en tangent til denne.


Tangent til cirklen med centrum i punktet (1,0) og radius = 13, skærer i punktet (5,13).

Tangenten skærer cirklen i punktet (5,13). Vi finder hældningen af radius-linjen:

\frac{t_y - c_y}{t_x - c_x} = \frac{13 - 1}{5 - 0} = \frac{12}{5}

Så hældningen af tangenten er:

\newline \frac{12}{5} \cdot a_t = -1 \newline \Updownarrow \newline a_t = - \frac{5}{12}

Vi har nu hældningen på tangenten, a_t og et punkt på tangentlinjen. Det sidste vi skal gøre, er at indsætte hældningen og skæringspunktet med cirklen (5,13), i linjens ligning.

\newline y - y_0 = a(x - x_0) \newline \Updownarrow \newline y - 13 = - \frac{5}{12} \cdot (x - 5) \newline \Updownarrow \newline y - 13 = - \frac{5}{12} \cdot x + \frac{25}{12} \newline \Updownarrow \newline y = - \frac{5}{12} \cdot x + \frac{181}{12}

Tangenten har altså ligningen:

y = - \frac{5}{12} \cdot x + \frac{181}{12}