Cirklens ligning

Cirklens ligning er en matematisk beskrivelse af cirklen. En cirkel er en todimensionel figur indenfor geometri, og den vil derfor oftest blive defineret i et koordinatsystem. Centrum af cirklen vil være et punkt (x, y) i koordinatsystemet. En cirkel defineres ud fra 3 komponenter; dens centrum, et punkt på cirkelperiferien og radius. Derfor er disse 3 komponenter helt afgørende for bestemmelse af cirklens ligning.

Hvis man har en cirkel med centrum i () og radius r, er cirklens ligning:

I cirklens ligning, er (x,y) vilkårlige koordinatpunkter i koordinatsystemet. Men for at et vilkårligt punkt opfylder cirklens ligning, skal punktet (x,y) være et punkt på cirklens periferi. Dermed skal følgende gælde: 

Punktets x-koordinat minus centrum x-koordinatet kvadreret plus punktets y-koordinat minus centrum y-koordinatet kvadreret skal væer lig med radius kvadreret.

En cirkel i et koordinatsystem, skal opfylde cirklens ligning.

Ofte sættes en cirkels centrum til punktet (0, 0), og så bliver cirklens ligning mere simpel:

Tangent til cirkel

Tangent til cirkel er en ret linie der tangerer cirklen, som på figuren herunder:

Tangent til en cirkel.

En tangent til en cirkel er en linje der rører cirklen i et punkt på periferien, og som ligger vinkelret på radius-linjen til dette punkt. En tangent til en cirkel rører ALTID kun cirklen i ét punkt på cirkelperiferien. Men da der findes uendeligt mange punkter på cirkelperiferien, er der også uendeligt mange tangenter til cirkelen.

Tangent formel

For at beregne tangentens ligning, skal vi vide i hvilket punkt tangenten rører cirklen. Vi kalder dette punkt for (). Vi bruger dette punkt til at finde radius linjen, der ligger vinkelret på tangenten. Denne linje går fra cirklens centrum, (), til (). Den har altså en hældning på:

Vi ved at radius linjen er vinkelret på tangenten, hvilket matematisk betyder at hældningen af radius linjen gange hældningen af tangenten er lig minus 1

Vi kan altså, ved at løse denne ligning, finde tangentens hældning, og når vi har hældningen kan vi finde skæringspunktet på y-aksen. Og dermed har vi tangentens ligning. Se eksempel 2.

Eksempel 1

Her har vi defineret en cirkel ud fra cirklens ligning.

Cirkel med centrum i (0,1) og med radius r = 13.

Radius er 13 og centrum er i (0,1), så cirklens ligning ser således ud:

Eksempel 2

Vi vil arbejde videre med cirklen fra eksempel 1, og finde ligningen for en tangent til denne.

Tangent til cirklen med centrum i punktet (1,0) og radius = 13, skærer i punktet (5,13).

Tangenten skærer cirklen i punktet (5,13). Vi finder hældningen af radius-linjen:

Så hældningen af tangenten er:

Vi har nu hældningen på tangenten,  og et punkt på tangentlinjen. Det sidste vi skal gøre, er at indsætte hældningen og skæringspunktet med cirklen (5,13), i linjens ligning.

Tangenten har altså ligningen: