Omkreds af cirkel

Omkreds af en cirkel er længden af periferien. Problemet med en cirkelperiferi er, at man ikke kan måle den med en lineal. Det behøver man dog heller ikke, for der findes nemlig en sammenhæng mellem radius af cirkel og omkredsen. Denne sammenhæng er tallet pi.

Hvad er pi?

Pi er et såkaldt irrationalt tal. Det betyder grundlæggende, at tallet har uendelig mange decimaler. Mange kommatal kan man skrive som en brøk (fraktion), det vil sige et helt tal divideret med et andet helt tal. Det er ikke muligt for irrationelle tal. Der findes altså ikke to tal man kan dividere med hinanden, som giver pi. Her er pi med de første 5 decimaler:

pi = \pi = 3,14159

Normalt har man ikke brug for flere decimaler, og ofte bruger man bare: \pi = 3,14. Pi er et af de vigtigste tal i matematik. Man kan ikke regne på cirkler uden pi, men pi er også vigtig for trigonometri og andre mere avancerede emner. Man behøver dog ikke at forstå pi fuldstændigt, man skal bare kunne bruge det.

Fordi pi bliver brugt så mange steder, har det forskellige definitioner, men den mest grundlæggende er, at pi er lig forholdet mellem omkreds af cirkel og diameteren i en cirkel.

Diameter af cirkel

Diameter er den fulde bredde af en cirkel. Altså er diameteren længden af et linjestykke, der går fra periferien til centrum til periferien på den modsatte side.


Diameter (d) af cirkel.

Diameter kan deles op i to linjestykker, der går fra periferi til centrum, og fra centrum til periferi. Begge disse har radius som længde, altså må diameteren være lig, to gange radius:

diameter = 2 \cdot radius

Det er nemt at måle diameteren på en cirkel. Man skal bare lade en lineal ligge på cirklen, så linealen går igennem centrum. Så skal man måle længden fra periferi til periferi.

Omkreds af cirkel formel

Da diameter er lig to gange radius, kan omkreds af cirkelen defineres både ud fra radius, og ud fra diameter. Omkreds er lig diameter gange pi. Og dermed er omkreds, samtidig, lig med to gange pi gange radius.

omkreds = diameter \cdot \pi = 2 \cdot \pi \cdot radius

Når man skal huske formlen for omkreds af cirkel, er det nemt når man bruger r for radius:

2 \cdot \pi \cdot r (udtales '2 pi(ge)r')

Dette er et såkaldt konstant forhold. Det vil sige, lige meget hvilken cirkel man ser på, vil forholdet mellem dens diameter og dens omkreds være det samme. Man ville altså kunne måle diameter og omkreds på en cirkel, og hvis man dividerer omkreds med diameter, vil man få pi.

\pi = \frac{omkreds}{diameter}

Omkreds kan praktisk måles ved hjælp af en tråd, eller en anden form for 'bøjelig lineal'. Man kan også, hvis man forestiller sig en cirkel som et hjul, markere et punkt på hjulet og rulle det på en ret flade indtil man når til punktet igen. Så vil den afstand hjulet/cirklen har flyttet sig være lig omkredsen.

Eksempel

Vi har i dette eksempel en cirkel med diameter på 18.


Cirkel med diameter på 18.

Beregne omkreds af cirkel:

omkreds = 18 \cdot \pi = 18 \cdot 3,14 = 56,55