Ellipse

En ellipse, er en oval figur i geometrien. Man kan sige, at den har form som en cirkel, der er trykket flad. Undertiden ses det også stavet 'elipse', men 'ellipse' er den korrekte stavemåde ifølge ordbogen.


Ellipse.

Ellipser er en af den type figurer der kaldes keglesnit (sammen med cirkler, parabler og hyperbler). De kaldes keglesnit, da de fremkommer, hvis man skærer en kegle over et bestemt plan.

Ellipser er vigtige figurer i astronomi. Planeterne i solsystemet har alle baner formet som en ellipse, med solen som et brændpunkt. Måner og mange andre himmellegemer har også ellipseformede baner.

Brændpunkt

Forskellen på en cirkel og en ellipse er at, hvor cirklen kun har et centrum, har en ellipse to. Disse kaldes brændpunkter.


Ellipse med brændpunkter markeret.

De to brændpunkter bestemmer dermed, hvordan ellipsen er udformet.

Hvis det ene brændpunkt er langt fra det andet brændpunkt er den meget bred og flad.

Hvis de to brændpunkter er tæt på hinanden er ellipsen meget rund.

Storakse

Storaksen er den rette (i dette tilfælde vandrette) linje der både går gennem begge brændpunkter og samtidig rører to punkter på ellipsens periferi. Storaksen markerer det bredeste sted, og den kan dermed også defineres som den længste linje man kan tegne i ellipsen.

Lilleakse

Lilleaksen er den rette (i dette tilfælde lodrette) linje, der skærer storaksen på midten i en ret vinkel. Lilleaksen markerer altså højden, eller den korteste linje i ellipsen der rører periferien to steder. Se figuren herunder:


Ellipse med storakse (a) og lilleakse (b) markeret.

Excentricitet

Excentriciteten er forholdet mellem lilleaksen og storaksen, med andre ord, excentriciteten siger noget om hvor flad ellipsen er. Excentricitet er defineret af hvor langt brændpunkterne er fra hinanden. Jo længere de er fra hinanden, jo bredere er ellipsen, og det betyder at storaksen bliver større og lille aksen mindre.

Excentricitet udregnes som afstanden mellem brændpunkterne divideret med storaksens længde. En ellipses excentricitet kan også udregnes med en formel, hvor man bruger de to variabler a og b, som er ellipsens halvakser. a er halvdelen af storaksen og b er halvdelen af lilleaksen.

Excentricitet = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}

Excentriciteten er altid et tal mellem 0 - 1.

Hvis excentriciteten er nul, er de to brændpunkter i samme punkt, og vi har dermed at gøre med en cirkel. Jo mere excentriciteten går mod et, jo bredere er ellipsen.

En ellipses areal kan udregnes ud fra halvakserne a og b med følgende formel:

Areal = \pi \cdot a \cdot b

Omkreds af ellipse kan beregnes med formlen:

Omkreds = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot (a^2 + b^2)}

Man tager altså ellipsens halvakser i anden potens, lægger dem sammen og tager halvdelen. Så tager man kvadratroden og ganger med 2 pi.

Der findes en nem måde at tegne ellipser på hvor man tager to tegnestifter, og sætter dem i papiret. Disse bliver ellipsens brændpunkter. Man tager nu et stykke snor, som er bundet sammen i enderne og lader snoren danne en trekant mellem tegnestifterne og en blyant. Man kan nu tegne ellipsen ved at trække blyanten rundt, mens snoren holdes strakt.

Superellipse

En superellipse er en speciel figur, som egentlig ikke er en ellipse, men en mellemting med den og en rektangel. Superellipsen blev brugt og gjort populær af Piet Hein.


Superellipse.

Den defineres i et koordinatsystem med følgende ligning:

\left | \frac{x}{a} \right |^n + \left | \frac{y}{b} \right |^n = 1

a og b er superellipsens halvakser og n definerer, hvor kantet eller ellipseformet den er. I en normal ellipse er n lig 2. Altså har vi i et koordinatsystem, denne ellipse-formel:

\left ( \frac{x}{a} \right )^2 + \left ( \frac{y}{b} \right )^2 = 1

Eksempel 1

Dette er et eksempel på en ellipse med halvakserne a = 11 cm og b = 7 cm (storakse = 22 cm og lilleakse = 14 cm).


Halvakser, a = 11 cm og b = 7 cm.

Vi udregner excentriciteten:

\text {Excentricitet} = \sqrt{1-\frac{7^2}{11^2}} = \sqrt{1-\frac{49}{121}} = \sqrt{0,60} = 0,77

Denne ellipse har altså en excentricitet på 0,77. Vi beregner arealet:

Areal = \pi \cdot 11 \cdot 7 = 241,90

Målt i centimeter, er dens areal på 241,90 cm^2.

Vi beregner til sidst omkredsen:

Omkreds = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot (11^2 + 7^2)} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{85} = 57,93

Ellipsen har dermed en omkreds på 57,93 cm.

Eksempel 2

I dette eksempel har vi at gøre med en mere æggeformet ellipse.


Ellipse med halvakserne, a = 14 cm og b = 10 cm.

Ellipsens excentricitet udregnes:

\text {Excentricitet} = \sqrt{1-\frac{10^2}{14^2}} = \sqrt{1-\frac{100}{196}} = \sqrt{0,49} = 0,70

Arealet af ellipsen:

Areal = \pi \cdot 10 \cdot 14 = 439,82

Hvis man måler i centimeter har overfladen af ellipsen altså et areal på 439,82 cm. Omkredsen af ellipsen:

Omkreds = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{1}{2} \cdot (14^2 + 10^2)} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{148} = 76,44

Ellipsen har altså en omkreds på 76,44 cm.